Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2012 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh) Cho các số thực dương $a,b$. Xét dãy số $(u_n)$ : \[\left\{\begin{matrix} u_1=a,u_2=b\\ u_{n+2}=3\sqrt[5]{u_{n+1}}+13\sqrt[5]{u_n},\;\forall n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.\] Chứng minh rằng dãy $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. Lời giải : Ta xét hai dãy số phụ $(a_n),(b_n)$ như sau : \[(a_n):\left\{\begin{matrix} a_1=max\left \{ a,b,32 \right \}\\ a_{n+1}=16\sqrt[5]{a_n},\;\forall n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.\] \[(b_n):\left\{\begin{matrix} b_1=min\left \{ a,b,32 \right \}\\ b_{n+1}=16\sqrt[5]{b_n},\;\forall n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.\] Ta thấy : \[a_1\geq 32\] và \[a_2=16\sqrt[5]{a_1}\geq 32\] Quy nạp ta được $a_n\geq 32,\;\forall n\in \mathbb{N}^*$. Lại có : \[a_{n+1}-a_n=16\sqrt[5]{a_n}-a_n=\sqrt[5]{a_n}\left ( 16-\sqrt[5]{a_n^4} \right )\leq 0\] Như vậy dãy $(a_n)$ vừa bị chặn dưới, vừa giảm nên nó có giới hạn hữu hạn. giải phương trình giới hạn ta được $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}a_n=2$. Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được dãy $(b_n)$ bị chặn trên bởi $32$ và tăng. Tìm được $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}b_n=2$ Ta sẽ chứng minh rằng : \[a_n\geq max\left \{ u_{2n-1},u_{2n} \right \}\;\forall n=1,2,...\;\;\;\;(*)\] Với $n=1$ thì hiển nhiên. Gỉa sử có $(*)$, xét với $n+1$ : \[u_{2n+1}=16\sqrt[5]{u_{2n}}\leq 16\sqrt[5]{a_n}=a_{n+1}\] \[u_{2n+2}=16\sqrt[5]{u_{2n+1}}\leq 16\sqrt[5]{a_{n+1}}\leq 16\sqrt[5]{a_n}=a_{n+1}\] Tức là : \[a_{n+1}\geq max\left \{ u_{2n+1},u_{2n+2}\right \}\] Theo nguyên lí quy nạp, ta được $(*)$. Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được : \[b_n\leq min\left \{ u_{2n-1},u_{2n} \right \}\] Từ đó dẫn đến : \[b_n\leq min\left \{ u_{2n-1},u_{2n} \right \}\leq max\left \{ u_{2n-1},u_{2n} \right \}\leq a_n\] Mà ta đã tìm được $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}a_n=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}b_n=2$ Nên theo nguyên lí kẹp ta được : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}u_{2n-1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}u_{2n}=2\] Ta kết luận rằng : \[\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim}u_n=2\]

Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2012 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh)

Cho các số thực dương $a, b$ . Xét dãy số $(u_{n})$ :

${u_{1} = a, u_{2} = b u_{n + 2} = 3 5 u_{n + 1} + 13 5 u_{n}, \forall n \in N^{*}$

Chứng minh rằng dãy $(u_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải :

Ta xét hai dãy số phụ $(a_{n}), (b_{n})$ như sau :

$(a_{n}) : {a_{1} = ma x {a, b, 32} a_{n + 1} = 16 5 a_{n}, \forall n \in N^{*}$

$(b_{n}) : {b_{1} = min {a, b, 32} b_{n + 1} = 16 5 b_{n}, \forall n \in N^{*}$

Ta thấy :

$a_{1} \geq 32$ và $a_{2} = 16 5 a_{1} \geq 32$

Quy nạp ta được $a_{n} \geq 32, \forall n \in N^{*}$ . Lại có :

$a_{n + 1} - a_{n} = 16 5 a_{n} - a_{n} = 5 a_{n} (16 - 5 a_{n}^{4}) \leq 0$

Như vậy dãy $(a_{n})$ vừa bị chặn dưới, vừa giảm nên nó có giới hạn hữu hạn. giải phương trình giới hạn ta được $n \to + \infty lim a_{n} = 2$ .

Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được dãy $(b_{n})$ bị chặn trên bởi $32$ và tăng. Tìm được $n \to + \infty lim b_{n} = 2$

Ta sẽ chứng minh rằng :

$a_{n} \geq ma x {u_{2 n - 1}, u_{2 n}} \forall n = 1, 2, ... (*)$

Với $n = 1$ thì hiển nhiên. Gỉa sử có $(*)$ , xét với $n + 1$ :

$u_{2 n + 1} = 16 5 u_{2 n} \leq 16 5 a_{n} = a_{n + 1}$

$u_{2 n + 2} = 16 5 u_{2 n + 1} \leq 16 5 a_{n + 1} \leq 16 5 a_{n} = a_{n + 1}$

Tức là :

$a_{n + 1} \geq ma x {u_{2 n + 1}, u_{2 n + 2}}$

Theo nguyên lí quy nạp, ta được $(*)$ . Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được :

$b_{n} \leq min {u_{2 n - 1}, u_{2 n}}$

Từ đó dẫn đến :

$b_{n} \leq min {u_{2 n - 1}, u_{2 n}} \leq ma x {u_{2 n - 1}, u_{2 n}} \leq a_{n}$

Mà ta đã tìm được $n \to + \infty lim a_{n} = n \to + \infty lim b_{n} = 2$

Nên theo nguyên lí kẹp ta được :

$n \to + \infty lim u_{2 n - 1} = n \to + \infty lim u_{2 n} = 2$

Ta kết luận rằng :

$n \to + \infty lim u_{n} = 2$