Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho dãy số nguyên $(u_n)$ : $u_1=2,u_2=7$ và :

$$\frac{-1}{2}<u_n-\frac{u_{n-1}^2}{u_{n-2}}\le \frac{1}{2}$$

Chứng minh rằng $u_n$ là số lẻ với mọi số nguyên dương $n$ lớn hơn $1$.

Lời giải :

Ta tính được $u_3=25,u_4=89$. Tuyến tính hóa dãy $(u_n)$ :

$$u_{n+2}=a{u}_{n+1}+b{u}_n$$

Ta được hệ :

$$\{\begin{array}{c}7a+2b=25\\ 25a+7b=89\end{array}\iff a=3,b=2$$

Như vậy ta xét dãy $(v_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{v}_1=2,v_2=7\\ v_{n+2}=3v_{n+1}+2v_n\end{array}$$

Ta sẽ chứng minh hai dãy $(v_n)$ và $(u_n)$ trùng nhau. Từ đó bằng quy nạp ta được ngay điều phải chứng minh.

Ta lần lượt tính được :

$$v_3{v}_1-v_2^2=1,v_4{v}_2-v_3^2=-2,v_5{v}_3-v_4^2=4,...$$

Do đó ta dự đoán :

$$v_{n+2}{v}_n-v_{n+1}^2=(-2{)}^{n-1}(\ast )$$

Và ta chứng minh bằng quy nạp dự đoán này. Gỉa sử có điều này. Ta có :

$v_{n+3}{v}_{n+1}-v_{n+2}^2$$=(-2{)}^n$$\iff (3v_{n+2}+2v_{n+1})v_{n+1}-v_{n+2}^2$$=-2(v_{n+2}{v}_n-v_{n+1}^2)$$\iff v_{n+2}$$=3v_{n+1}+2v_n$

Hiển nhiên đúng. Theo nguyên lí quy nạp, ta được $(\ast )$.

Tiếp theo ta chứng minh :

$\frac{-1}{2}$$<u_n-\frac{u_{n-1}^2}{u_{n-2}}$$\le \frac{1}{2}$$\iff \frac{-u_{n-2}}{2}$$<u_n{u}_{n-2}-u_{n-1}^2$$\le \frac{u_{n-2}}{2}$$\iff \frac{-u_n}{2}$$<(-2{)}^{n-1}$$\le \frac{u_n}{2}$$\iff \left|(-2{)}^{n-1}\right|$$=2^{n-1}$$\le u_n/2$$\iff 2^n$$\le u_n$

Và điều này thì dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp.

Trên đoạn $\left(\frac{-1}{2}+\frac{u_{n-1}^2}{u_{n-2}},\frac{1}{2}+\frac{u_{n-1}^2}{u_{n-2}}\right]$ có đúng một số nguyên nên với mỗi số nguyên dương $n$ thì $u_n$ là duy nhất. Hơn nữa dãy nguyên $(v_n)$ thỏa mãn tất cả các tính chất của dãy $(u_n)$. Do đó hai dãy này trùng nhau. Dễ dàng có điều phải chứng minh.