Geometry

Đề bài

Bài toán (IMO Shortlist 2008)

Cho tam giác $A B C$ nhọn trực tâm $H$ . $A_{0}, B_{0}, C_{0}$ là trung điểm của các cạnh $B C, C A, A B$ . Đường tròn $(A_{0}, A_{0} H)$ cắt $B C$ tại $A_{1}, A_{2}$ . Tương tự ta xác định các điểm $B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ . Chứng minh rằng sáu điểm $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}, C_{1}, C_{2}$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải :

Ta có $H C$ vuông góc $A_{0} B_{0}$ do $H C ⊥ A B, A_{0} B_{0} ∥ A B$ . Mà $H C$ đi qua $H$ nên $H C$ là trục đẳng phương của $(A_{0}), (B_{0})$ .

Từ đó mà :

$C B_{2} . C B_{1} = C A_{1} . C A_{2}$

Ta được tứ giác $A_{1} A_{2} B_{1} B_{2}$ nội tiếp. Tương tự ta được các tứ giác nội tiếp $B_{1} B_{2} C_{1} C_{2}, C_{1} C_{2} A_{1} A_{2}$ .

Ba đường tròn $(A_{1} A_{2} B_{1} B_{2}), (B_{1} B_{2} C_{1} C_{2}), (C_{1} C_{2} A_{1} A_{2})$ đôi một có các trục đẳng phương là $B_{1} B_{2}, C_{1} C_{2}, A_{1} A_{2}$ . Nếu sáu điểm nói trên không cùng thuộc một đường tròn thì $A_{1} A_{2}, B_{1} B_{2}, C_{1} C_{2}$ sẽ đồng quy mà điều này thì vô lí. Do đó ta được điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán (IMO Shortlist 2008) Cho tam giác nhọn trực tâm . là trung điểm của các cạnh . Đường tròn cắt tại . Tương tự ta xác định các điểm . Chứng minh rằng sáu điểm cùng thuộc một đường tròn. Lời giải : Ta có vuông góc do . Mà đi qua nên là […]

Hình học phẳng

Nguồn: julielltv