Geometry

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO 2013-2014 tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu)

Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$. Hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $B,C$ cắt nhau tại $I$. $AI$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$. $M,K$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,AD$. Hai đường thẳng $BC,AM$ cắt $(O)$ tại $E,F$

a) Chứng minh rằng $\angle BAD=\angle MAC$

b) Chứng minh rằng $EF\parallel AB$

Lời giải :

a) Xét hai tam giác $ABD$ và $AMC$.

Ta có :

$$\angle ADB=\angle ACM$$ ($$A,B,C,D$$ đồng viên)

Theo định lí Ptolemy cho tứ giác $ABDC$ nội tiếp :

$$AD.BC=AB.CD+AC.BD$$

Mà $AB.CD=AC.BD$ do tứ giác $ABDC$ là tứ giác điều hòa.

Nên ta suy ra :

$$AD.BC=2AC.BD\Rightarrow AD.MC=AC.BD(BC=2MC)\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{AC}{MC}$$

Vậy ta có hai tam giác $ABD,AMC$ đồng dạng. Từ đó được :

$$\angle BAD=\angle MAC$$

b) Lấy $S$ là trung điểm của $AC$. Nên $MS$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Nên $MS\parallel AB$ $(1)$

Ta có

$\Delta ABD\sim \Delta AMC$$\Rightarrow \frac{AB}{AD}$$=\frac{AM}{AC}$$\Rightarrow \frac{AB}{AD:2}$$=\frac{AM}{AC:2}$$\Rightarrow \frac{AB}{AK}$$=\frac{AM}{AS}$

Lại có $\angle BAD=\angle MAC\Rightarrow \angle BAK=\angle MAS$

Suy ra hai tam giác $ABK,AMS$ đồng dạng. Kéo theo :

$$\angle ABK=\angle AMS$$

Mà $\angle ABK=\angle ABE=\angle AFE$ nên $\angle AMS=\angle AFE$. Hai góc này ở vị trí so le trong nên có ngay $MS$ song song $EF$ $(2)$

Từ $(1)(2)$ suy ra $EF$ song song $AB$