Bài toán (Kiểm tra trường Đông toán học miền Bắc 2013-2014) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, hai điểm $B,C$ cố định và $BC$ không là đường kính. $A$ thay đổi sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Đường tròn tâm $B$ qua $A$ cắt $AC$ và $(O)$ tại $D,E$. $DE$ cắt $(O)$ tại $K$. a) Chứng minh rằng $BK$ vuông góc $AC$. b) Giao của $BK,AE$ tại $F$. $M$ là giao của $AC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$. Chứng minh rằng $M$ luôn thuộc một đường thẳng cố định. Lời giải : a) Ta có : \[AKEB\] nội tiếp nên \[\angle BAK=180^0-\angle BED\] Mà $\angle BDK=180^0-\angle BDE=180^0-\angle BED$ Như vậy ta được $\angle BAK=\angle BDK$. Lại có thêm $\angle AKB=\angle BCE=\angle BKE$ nên hai tam giác $BAK,BDK$ đồng dạng. Từ đó mà : \[\angle ABK=\angle DBK\] Suy ra $BK$ là phân giác góc $ABD$. Tam giác $ABD$ cân tại $B$ có $BK$ phân giác nên cũng là đường cao. Chứng tỏ : \[BK\perp AC\] b) Vì $F$ thuộc $BK$ và $BK$ là trung trực của $AD$ nên $FA=FD$. Nên tam giác $AFD$ cân, kéo theo $\angle FAD=\angle ADF\Rightarrow \angle EAM=\angle ADF$ Lại có $\angle ADF=\angle MEA$ (tứ giác $FDME$ nội tiếp). Suy ra $\angle EAM=\angle MEA$. Kéo theo tam giác $AME$ cân tại $M$ hay là $AM=ME$. Kết hợp với $AB=BE$ ta được $BM$ là trung trực của $AE$ Mà $BO$ là trung trực $AE$ do $AE$ là trục đẳng phương của hai đường tròn. Ta suy ra $B,M,O$ thẳng hàng. Do đó $M$ luôn thuộc $BO$ cố định.

Geometry

Bài toán (Kiểm tra trường Đông toán học miền Bắc 2013-2014)

Cho tam giác $A B C$ nội tiếp $(O)$ , hai điểm $B, C$ cố định và $B C$ không là đường kính. $A$ thay đổi sao cho tam giác $A B C$ nhọn. Đường tròn tâm $B$ qua $A$ cắt $A C$ và $(O)$ tại $D, E$ . $D E$ cắt $(O)$ tại $K$ .

a) Chứng minh rằng $B K$ vuông góc $A C$ .

b) Giao của $B K, A E$ tại $F$ . $M$ là giao của $A C$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $D E F$ . Chứng minh rằng $M$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải :

a) Ta có :

$A K E B$ nội tiếp nên $∠ B A K = 18 0^{0} - ∠ B E D$

Mà $∠ B D K = 18 0^{0} - ∠ B D E = 18 0^{0} - ∠ B E D$

Như vậy ta được $∠ B A K = ∠ B D K$ . Lại có thêm $∠ A K B = ∠ B C E = ∠ B K E$ nên hai tam giác $B A K, B D K$ đồng dạng. Từ đó mà :

$∠ A B K = ∠ D B K$

Suy ra $B K$ là phân giác góc $A B D$ . Tam giác $A B D$ cân tại $B$ có $B K$ phân giác nên cũng là đường cao. Chứng tỏ :

$B K ⊥ A C$

b) Vì $F$ thuộc $B K$ và $B K$ là trung trực của $A D$ nên $F A = F D$ . Nên tam giác $A F D$ cân, kéo theo $∠ F A D = ∠ A D F \Rightarrow ∠ E A M = ∠ A D F$

Lại có $∠ A D F = ∠ M E A$ (tứ giác $F D M E$ nội tiếp). Suy ra $∠ E A M = ∠ M E A$ .

Kéo theo tam giác $A M E$ cân tại $M$ hay là $A M = M E$ . Kết hợp với $A B = B E$ ta được $B M$ là trung trực của $A E$

Mà $B O$ là trung trực $A E$ do $A E$ là trục đẳng phương của hai đường tròn.

Ta suy ra $B, M, O$ thẳng hàng. Do đó $M$ luôn thuộc $B O$ cố định.

Geometry

Đề bài

Mô tả