Inequality

Bài toán (Chọn đội tuyển Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh)

Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{a+b}{c}}+\sqrt{\frac{b+c}{a}}+\sqrt{\frac{c+a}{b}}$$\ge \sqrt{6.\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}}$

Lời giải :

Đặt $\frac{a}{b}=x^3,\frac{b}{c}=y^3,\frac{c}{a}=z^3$ thì $x,y,z>0$ và $xyz=1$. Cần chứng minh :

$\sqrt{\frac{1}{z^3}+y^3}+\sqrt{\frac{1}{x^3}+z^3}+\sqrt{\frac{1}{y^3}+x^3}$$\ge \sqrt{6\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\right)}$$\iff \sqrt{y^3+x^3{y}^3}+\sqrt{z^3+z^3{y}^3}+\sqrt{x^3+z^3{x}^3}$$\ge \sqrt{6(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)}$

Theo BĐT Minkowski :

$\sqrt{y^3+x^3{y}^3}+\sqrt{z^3+z^3{y}^3}+\sqrt{x^3+z^3{x}^3}$$\ge \sqrt{(\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}+\sqrt{z^3}{)}^2+{\left(\sqrt{x^3{y}^3}+\sqrt{y^3{z}^3}+\sqrt{z^3{x}^3}\right)}^2}$

Ta cần chứng minh :

$(\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}+\sqrt{z^3}{)}^2+{\left(\sqrt{x^3{y}^3}+\sqrt{y^3{z}^3}+\sqrt{z^3{x}^3}\right)}^2$$\ge 6(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$$\iff (x^3+y^3+z^3)+(x^3{y}^3+y^3{z}^3+z^3{x}^3)+2\left(\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}+\sqrt{z^3}+\sqrt{x^3{y}^3}+\sqrt{y^3{z}^3}+\sqrt{z^3{x}^3}\right)$$\ge 6(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

Điều này luôn đúng theo AM-GM :

$$x^3+x^3{y}^3+\sqrt{x^3{y}^3}+\sqrt{x^3{y}^3}+\sqrt{x^3}+\sqrt{y^3}\ge 6\sqrt[6]{x^{12}{y}^6}=6x^{2}y$$

$$y^3+y^3{z}^3+\sqrt{y^3{z}^3}+\sqrt{y^3{z}^3}+\sqrt{y^3}+\sqrt{y^3}\ge 6\sqrt[6]{y^{12}{z}^6}=6y^{2}z$$

$$z^3+z^3{x}^3+\sqrt{z^3{x}^3}+\sqrt{z^3{x}^3}+\sqrt{z^3}+\sqrt{z^3}\ge 6\sqrt[6]{z^{12}{x}^6}=6z^{2}x$$