Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho dãy số $(u_n)$ được xác định như sau :

$$\{\begin{array}{c}{u}_0=u_1=1\\ u_{n+1}=14u_n-u_{n-1},\forall n\ge 1\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì $2u_n-1$ là một số chính phương.

Lời giải :

Phương trình sai phân đề bài ta cho ta nghiệm :

$$u_n=\frac{(2+\sqrt{3}{)}^{2n-1}+{\left(2-\sqrt{3}\right)}^{2n-1}}{4}$$

Để ý là ta có :

$$2\pm \sqrt{3}={\left(\frac{1\pm \sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)}^2$$

Nên :

$2u_n-1$$=\frac{{\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)}^{4n-2}+{\left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)}^{4n-2}-2}{2}$$=\frac{{\left[{\left(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)}^{2n-1}+{\left(\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)}^{2n-1}\right]}^2}{2}$$=\frac{{\left[\frac{1}{2^{n-1}}.\frac{(1+\sqrt{3}{)}^{2n-1}+{\left(1-\sqrt{3}\right)}^{2n-1}}{\sqrt{2}}\right]}^2}{2}$

Ta có thể viết :

$$(1\pm \sqrt{3}{)}^{2n-1}=A_n\pm B_n\sqrt{3}(A_n,B_n\in \mathbb{Z},\forall n\in \mathbb{N})$$

Do đó mà :

$$(1+\sqrt{3}{)}^{2n-1}+(1-\sqrt{3}{)}^{2n-1}=2A_n$$

Ta được :

$2u_n-1$$=\frac{{\left(\frac{1}{2^{n-1}}.\frac{2A_n}{\sqrt{2}}\right)}^2}{2}$$={\left(\frac{A_n}{2^{n-1}}\right)}^2$

Hơn nữa dễ thấy $2u_n-1$ nguyên với mọi số tự nhiên $n$. Ta có điều phải chứng minh.