Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2011) Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn : \[\left\{\begin{matrix} u_0=1,u_1=-1\\ u_n=6u_{n-1}+5u_{n-2},\;\forall n=2,3,... \end{matrix}\right.\] Chứng minh rằng $2011\mid u_{2012}-2010$ Lời giải : Ta xét dãy số $(b_n)$ như sau : \[\left\{\begin{matrix} b_0=1,b_1=-1\\ b_n=6b_{n-1}+2016b_{n-2} \end{matrix}\right.\] Giải phương trình sai phân này, ta được : \[b_n=\dfrac{41.48^n+49.(-42)^n}{90},\;\forall n\in \mathbb{N}\] Hơn nữa dễ thấy rằng $b_n\equiv a_n\;(mod\;2011),\;\forall n\in \mathbb{N}$. Do đó ta chỉ cần chứng tỏ : \[2011\mid b_{2012}+1\] Ta có : \[b_{2012}+1=\dfrac{41.48^{2012}+49.(-42)^{2012}+90}{90}\] Do $\gcd(90,2011)=1$ nên ta chỉ cần chứng minh được : \[41.48^{2012}+49.(-42)^{2012}+90\equiv 0\;(mod\;2011)\] Dễ thấy điều này đúng bằng cách sử dụng định lí Fermat nhỏ. Bài toán hoàn tất.

Arithmetic Sequence

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2011)

Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn :

${u_{0} = 1, u_{1} = - 1 u_{n} = 6 u_{n - 1} + 5 u_{n - 2}, \forall n = 2, 3, ...$

Chứng minh rằng $2011 ∣ u_{2012} - 2010$

Lời giải :

Ta xét dãy số $(b_{n})$ như sau :

${b_{0} = 1, b_{1} = - 1 b_{n} = 6 b_{n - 1} + 2016 b_{n - 2}$

Giải phương trình sai phân này, ta được :

$b_{n} = \frac{41.4 8 ^{n} + 49. ( - 42 ) ^{n}}{90}, \forall n \in N$

Hơn nữa dễ thấy rằng $b_{n} \equiv a_{n} (m o d 2011), \forall n \in N$ . Do đó ta chỉ cần chứng tỏ :

$2011 ∣ b_{2012} + 1$

Ta có :

$b_{2012} + 1 = \frac{41.4 8 ^{2012} + 49. ( - 42 ) ^{2012} + 90}{90}$

Do $g cd (90, 2011) = 1$ nên ta chỉ cần chứng minh được :

$41.4 8^{2012} + 49. (- 42)^{2012} + 90 \equiv 0 (m o d 2011)$

Dễ thấy điều này đúng bằng cách sử dụng định lí Fermat nhỏ. Bài toán hoàn tất.

Mô tả

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 2011) Cho dãy số thỏa mãn : Chứng minh rằng Lời giải : Ta xét dãy số như sau : Giải phương trình sai phân này, ta được : Hơn nữa dễ thấy rằng . Do đó ta chỉ cần chứng tỏ : Ta có : Do nên ta chỉ cần […]

Số họcChia hết - Đồng dưDãy số

Nguồn: julielltv