Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$A=\frac{1}{\sqrt{a^2+ab-a+5}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+bc-b+5}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+ca-c+5}}$$

Lời giải :

Ta sẽ chứng minh :

$$a^2+ab-a+5\ge 2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1\right)(\ast )$$

Thật vậy, theo AM-GM :

$$ab+1\ge 2\sqrt{ab}$$

$$a^2-a+4=(a^2+1)-a+3\ge 2a-a+3=(a+1)+2\ge 2\sqrt{a}+2$$

Cộng vế theo vế hai kết quả trên, ta được $(\ast )$. Từ đó chú ý đẳng thức :

$$\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{b}+1}+\frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{c}+1}=1$$

Ta áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$A$$\le \sqrt{\frac{3}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{a}+1}+\frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{b}+1}+\frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{c}+1}\right)}$$=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Vậy ta kết luận là $A_{max}=\frac{\sqrt{6}}{2}\iff a=b=c=1$