Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$. Chứng minh bất đẳng thức sau :

$$\frac{ab}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{bc}{a^2+2b^2+c^2}+\frac{ca}{a^2+b^2+2c^2}\le \frac{3}{4}$$

Lời giải :

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz :

$\frac{ab}{2a^2+b^2+c^2}$$\le \frac{1}{4}.\frac{(a+b{)}^2}{(a^2+b^2)+(a^2+c^2)}$$\le \frac{1}{4}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{a^2}{a^2+c^2}\right)$

$\frac{bc}{a^2+2b^2+c^2}$$\le \frac{1}{4}.\frac{(b+c{)}^2}{2b^2+(a^2+c^2)}$$\le \frac{1}{4}\left(\frac{b^2}{2b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)$

$\frac{ca}{a^2+b^2+2c^2}$$\le \frac{1}{4}.\frac{(c+a{)}^2}{2c^2+(a^2+b^2)}$$\le \frac{1}{4}\left(\frac{c^2}{2c^2}+\frac{a^2}{a^2+b^2}\right)$

Cộng vế theo vế ba kết quả trên, ta được điều phải chứng minh