Bài toán (Chọn đội tuyển VMO 2013-2014 tỉnh Đồng Tháp) Cho tam giác nhọn $ABC$ ngoại tiếp $(I)$ nội tiếp $(O)$. Gọi $P$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. $J$ đối xứng với $I$ qua $O$. Tiếp tuyến tại $I$ của đường tròn $(IBC)$ cắt $BC$ tại $M$. $H$ là hình chiếu của $M$ trên $OI$. Gọi $D$ là trung điểm của $BC$ và $K$ là giao của $ID$ với đường tròn $(ODH)$. a) Chứng minh : Tam giác $JPM$ vuông tại $P$. b) Chứng minh : $H,K,A$ thẳng hàng. Lời giải : a) Vẽ đường kính $POX$ của $(O)$. Dễ thấy $XJPI$ là hình bình hành. Từ đó mà $\angle DPJ=\angle PXI$ Tam giác $XBP$ vuông tại $B$ đường cao $BD$ nên : \[PB^2=PD.PX\Rightarrow PI^2=PD.PX\;\;(PI=PB)\Rightarrow \Delta PID\sim \Delta PXI\Rightarrow \angle PXI=\angle PID\] Dễ dàng thấy tứ giác $MIDP$ nội tiếp nên : \[\angle PID=\angle PMD\] Từ đó ta được :$\angle PMD=\angle DPJ$. Mà $\angle PMD+\angle DPM=90^0$. Nên $\angle JPM=\angle DPJ+\angle DPM=90^0$ Do đó tam giác $JPM$ vuông tại $P$. b) Gọi $Y$ là giao của $MA$ và $(O)$. Cho $YI$ cắt $(O)$ tại $Y'$. Ta có : \[MI^2=MB.MC=MY.MA\Rightarrow \angle MYI=90^0\] Suy ra $A,O,Y'$ thẳng hàng. Bằng cách xét hai tam giác $AOJ,Y'OI$ bằng nhau ta được $\angle JAO=\angle OY'I$, hai góc này ở vị trí so le trong nên ta được $AJ\parallel YI$. Dẫn đến $\angle MAJ=90^0$. Theo câu a ta được $\angle MPJ=90^0$, từ đó bốn điểm $A,J,P,M$ đồng viên. Cũng dễ thấy $M,H,J,P$ đồng viên nên có $A,H,P,J$ đồng viên. Từ đó được $\angle AHI=\angle AHJ=\angle APJ=\angle IPJ$. Lại có $\angle IPJ=90^0-\angle IPM=\angle IMP$ và $\angle IMP=\angle IDO=\angle KDO$ do tứ giác $IDPM$ nội tiếp. Từ đó thu được : \[\angle KDO=\angle AHO\] Mà bốn điểm $K,H,D,O$ đồng viên nên $\angle KHO=\angle KDO$. Suy ra $\angle AHO=\angle KHO$. Điều này chứng tỏ rằng $H,K,A$ thẳng hàng.

Geometry

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO 2013-2014 tỉnh Đồng Tháp)

Cho tam giác nhọn $A B C$ ngoại tiếp $(I)$ nội tiếp $(O)$ . Gọi $P$ là trung điểm cung $B C$ không chứa $A$ . $J$ đối xứng với $I$ qua $O$ . Tiếp tuyến tại $I$ của đường tròn $(I B C)$ cắt $B C$ tại $M$ . $H$ là hình chiếu của $M$ trên $O I$ . Gọi $D$ là trung điểm của $B C$ và $K$ là giao của $I D$ với đường tròn $(O D H)$ .

a) Chứng minh : Tam giác $J P M$ vuông tại $P$ .

b) Chứng minh : $H, K, A$ thẳng hàng.

Lời giải :

a) Vẽ đường kính $P O X$ của $(O)$ . Dễ thấy $X J P I$ là hình bình hành. Từ đó mà $∠ D P J = ∠ P X I$

Tam giác $X B P$ vuông tại $B$ đường cao $B D$ nên :

$P B^{2} = P D . P X \Rightarrow P I^{2} = P D . P X (P I = P B) \Rightarrow Δ P I D \sim Δ P X I \Rightarrow ∠ P X I = ∠ P I D$

Dễ dàng thấy tứ giác $M I D P$ nội tiếp nên :

$∠ P I D = ∠ P M D$

Từ đó ta được : $∠ P M D = ∠ D P J$ . Mà $∠ P M D + ∠ D P M = 9 0^{0}$ . Nên $∠ J P M = ∠ D P J + ∠ D P M = 9 0^{0}$

Do đó tam giác $J P M$ vuông tại $P$ .

b) Gọi $Y$ là giao của $M A$ và $(O)$ . Cho $Y I$ cắt $(O)$ tại $Y^{'}$ .

Ta có :

$M I^{2} = M B . M C = M Y . M A \Rightarrow ∠ M Y I = 9 0^{0}$

Suy ra $A, O, Y^{'}$ thẳng hàng. Bằng cách xét hai tam giác $A O J, Y^{'} O I$ bằng nhau ta được $∠ J A O = ∠ O Y^{'} I$ , hai góc này ở vị trí so le trong nên ta được $A J ∥ Y I$ . Dẫn đến $∠ M A J = 9 0^{0}$ .

Theo câu a ta được $∠ M P J = 9 0^{0}$ , từ đó bốn điểm $A, J, P, M$ đồng viên. Cũng dễ thấy $M, H, J, P$ đồng viên nên có $A, H, P, J$ đồng viên.

Từ đó được $∠ A H I = ∠ A H J = ∠ A P J = ∠ I P J$ .

Lại có $∠ I P J = 9 0^{0} - ∠ I P M = ∠ I M P$ và $∠ I M P = ∠ I D O = ∠ K D O$ do tứ giác $I D P M$ nội tiếp.

Từ đó thu được :

$∠ K D O = ∠ A H O$

Mà bốn điểm $K, H, D, O$ đồng viên nên $∠ K H O = ∠ K D O$ . Suy ra $∠ A H O = ∠ K H O$ . Điều này chứng tỏ rằng $H, K, A$ thẳng hàng.

Geometry

Đề bài

Mô tả