Inequality

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO THPT Chuyên Đại học Sư phạm, ĐHQG Hà Nội 2012-2013)

Cho $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=3$. Chứng minh rằng :

$\frac{4x+5}{x^3+x{y}^2+3xyz}+\frac{4y+5}{y^3+y{z}^2+3xyz}+\frac{4z+5}{z^3+z{x}^2+3xyz}$$\ge \frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$

Lời giải :

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

$VT$$=\sum _{cyc}\frac{4+\frac{5}{x}}{x^2+y^2+3yz}$$\ge \frac{{\left(\sqrt{4+\frac{5}{x}}+\sqrt{4+\frac{5}{y}}+\sqrt{4+\frac{5}{z}}\right)}^2}{2(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+zx)}$

Hơn nữa theo bất đẳng thức Minkowski ta có :

$\sqrt{4+\frac{5}{x}}+\sqrt{4+\frac{5}{y}}+\sqrt{4+\frac{5}{z}}$$\ge \sqrt{(2+2+2{)}^2+5{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)}^2}$$\ge \sqrt{36+\frac{5.9^2}{{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}^2}}$$\ge \sqrt{36+\frac{5.9^2}{3(x+y+z)}}$$=9$

Vậy nên ta chỉ cần chứng minh :

$$\frac{81}{2(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+zx)}\ge \frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$$

Thế nhưng đơn giản đây chỉ là một đẳng thức :

$\frac{81}{2(x^2+y^2+z^2)+3(xy+yz+zx)}$$=\frac{162}{x^2+y^2+z^2+27}$$\iff 81(x^2+y^2+z^2)+27.81$$=324(x^2+y^2+z^2)+486(xy+yz+zx)$$\iff (x+y+z{)}^2$$=9$

Ta có điều phải chứng minh.