Inequality

Bài toán (Bosnia Herzegovina Team Selection Test 2012)

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh :

$$\frac{a^3}{b^2+c}+\frac{b^3}{c^2+a}+\frac{c^3}{a^2+b}\ge \frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$$

Lời giải :

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$$VT\ge \frac{(a^2+b^2+c^2{)}^2}{a(b^2+c)+b(c^2+a)+c(a^2+b)}=\frac{1}{a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2+ab+bc+ca}$$

Ta cần chỉ ra :

$$a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2+ab+bc+ca\le \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Dễ thấy đã có :

$$ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2=1$$

Nên ta sẽ chứng minh :

$$\sqrt{3}(a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2)\le 1=(a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Mà ta lại có :

$$\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}$$

Nên chỉ cần chứng minh :

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$$\ge 3(a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2)$$\iff (b^3+a^{2}b)+(c^3+b^{2}c)+(a^3+c^{2}a)$$\ge 2(a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2)$

Điều này đúng theo AM-GM. Ta có điều phải chứng minh.