Sequence – Limit

Bài toán : Cho các số thực $a,b$ thuộc khoảng $(0,4)$. Xét dãy số $(x_n)$ như  sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=a,x_1=b\\ x_{n+2}=\frac{2(x_{n+1}+x_n)}{\sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_n}},\forall n\in \mathbb{N}\end{array}$$

Tính giới hạn hữu hạn nếu có của $(x_n)$.

Lời giải :

Xét dãy số phụ $(x_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=min\left\{a,b\right\}\\ x_{n+1}=2\sqrt{x_n}\end{array}$$

Bằng quy nạp ta được :

$$0<x_n<4,\forall n\in \mathbb{N}$$

Từ đó $x_{n+1}-x_n=\sqrt{x_n}(2-\sqrt{x_n})>0$ nên dãy $(x_n)$ tăng. Kết hợp với việc $(x_n)$ bị chặn trên ta suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn $L$ của nó. Giải phương trình giới hạn ta được $L\in \left\{0,4\right\}$.

Nhưng để ý thì thấy :

$$0<x_0<x_1<....<x_n<....$$

Nên phải có $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=4$

Ta có $a_0,a_1\in (0,4)$, giả sử rằng $a_n,a_{n+1}\in (0,4)$. Ta có :

$a_{n+2}$$=\frac{2(a_{n+1}+a_n)}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}$$<\frac{2\left(2\sqrt{a_{n+1}}+2\sqrt{a_n}\right)}{\sqrt{a_{n+1}}+\sqrt{a_n}}$$=4$

Theo nguyên lí quy nạp ta được $a_n$ bị chặn trên bởi $4$. Do dãy phụ $x_n\to 4$ nên ý tưởng của ta ở đây là sử dụng nguyên lí kẹp với :

$$x_n\le a_n<4$$

Ta sẽ chứng minh :

$$x_n\le min\left\{a_{2n},a_{2n+1}\right\},\forall n\in \mathbb{N}(\ast )$$

Với $n=0$ thì hiển nhiên $(\ast )$ đúng. Gỉa sử có $(\ast )$. Xét với $n+1$ :

Sử dụng BĐT quen thuộc $2(a^2+b^2)\ge (a+b{)}^2$ ta được :

$a_{2n+2}$$=\frac{2\left(a_{2n+1}+a_{2n}\right)}{\sqrt{a_{2n+1}}+\sqrt{a_{2n}}}$$\ge \sqrt{a_{2n+1}}+\sqrt{a_{2n}}$$\ge 2\sqrt{x_n}$$=x_{n+1}$

$a_{2n+3}$$=\frac{2\left(a_{2n+2}+a_{2n+1}\right)}{\sqrt{a_{2n+2}}+\sqrt{a_{2n+1}}}$$\ge \sqrt{a_{2n+2}}+\sqrt{a_{2n+1}}$$\ge \sqrt{x_{n+1}}+\sqrt{x_n}$$\ge 2\sqrt{x_n}$$=x_{n+1}$

Vậy nên $(\ast )$ cũng đúng với $n+1$. Theo nguyên lí quy nạp thì $(\ast )$ đúng với mọi $n$ tự nhiên.

Ta được :

$$x_n\le min\left\{a_{2n},a_{2n+1}\right\}\le max\left\{a_{2n},a_{2n+1}\right\}<4$$

Theo nguyên lí kẹp ta được hai dãy $(a_{2n}),(a_{2n+1})$ hội tụ về $4$. Suy ra $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=4$