Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{3+2(a^2-bc)}+\frac{1}{3+2(b^2-ca)}+\frac{1}{3+2(c^2-ab)}\ge 1$$

Lời giải :

Ta đặt $x=ca,y=ab,z=bc$ thì được $a^2=\frac{xy}{z},b^2=\frac{yz}{x},c^2=\frac{zx}{y}$ và $x+y+z=1$. Bất đẳng thức cần chứng minh viết thành :

$\frac{1}{3+2\left(\frac{xy}{z}-z\right)}+\frac{1}{3+2\left(\frac{zx}{y}-y\right)}+\frac{1}{3+2\left(\frac{yz}{x}-x\right)}$$\ge 1$$\iff \frac{x}{3x+2yz-2x^2}+\frac{y}{3y+2zx-2y^2}+\frac{z}{3z+2xy-2z^2}$$\ge 1$

Theo Cauchy-Schawz :

$\sum _{cyc}\frac{x}{3x+2yz-2x^2}$$\ge \frac{(x+y+z{)}^2}{3(x^2+y^2+z^2)+6xyz-2(x^3+y^3+z^3)}$$=\frac{1}{3(x^2+y^2+z^2)+6xyz-2(x^3+y^3+z^3)}$

Ta cần chỉ ra rằng :

$$3(x^2+y^2+z^2)+6xyz-2(x^3+y^3+z^3)\le 1$$

Thế nhưng đây đơn giản chỉ là một đẳng thức :

$2(x^2+y^2+z^2)+6xyz$$=1+2(x^3+y^3+z^3)$$\iff 2(x^2+y^2+z^2)+6xyz$$=1+2\left[(x+y+z{)}^3-3(x+y)(y+z)(z+x)\right]$$\iff x^2+y^2+z^2+2xyz+2\left[(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz\right]$$=1$$\iff (x+y+z{)}^2$$=1$

Hiển nhiên. Ta có điều phải chứng minh.