Geometry

Bài toán (Luyện tập đội tuyển Olympic 30-4 lớp 11 THPT Chuyên Quang Trung, Bình Phước)

Cho tam giác $ABC$ có $AB>AC$ và nội tiếp $(O)$. Phân giác ngoài của góc $A$ cắt $(O)$ tại $E$. $M,N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,CA$. $K$ là giao của $AE,MN$ và $F$ là hình chiếu của $F$ trên $AB$. Chứng minh rằng $KF$ song song với $BC$.

Lời giải :

Phân giác trong góc $A$ cắt $MN$ tại $J$ và cắt $(O)$ lần nữa tại $L$.

Dễ thấy rằng $E,O,M,L$ thẳng hàng.

Ta có $\angle ALC=\angle ABC$ vì cùng chắn cung $AC$ và có $\angle ABC=\angle NMC=\angle JMC$ vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$. Từ đó có $\angle ALC=\angle JLC=\angle JMC$. Vậy tứ giác $JMLC$ nội tiếp.

Kết hợp với $\angle LMC=90^0$ ta có $\angle LJC=90^0$ hay $CJ\perp AL$.

Hơn nữa dễ thấy $AK\perp AL$ nên có ngay $AK\parallel JC$

Ta có :

$$\angle AKN=\angle EAB(MK\parallel AB)=\angle EBC=\angle KAN\Rightarrow AN=NK=NC$$

Dẫn đến $N$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AKC$ nên $\angle AKC=90^0$ hay $AK\perp KC$ mà $AK\perp AJ$ nên $AJ\parallel KC$.

Từ đó lần lượt suy ra được các tứ giác $AKCJ,AFMJ,FKCM$ là các hình bình hành. Từ đó không khó để thấy :

$$\angle JMC=\angle AFK=\angle FKM$$

Dẫn đến $FK$ song song $BC$. Điều phải chứng minh.