Geometry

Bài toán (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ sồ 412)

Cho hai đường tròn $(C_1),(C_2)$ sao cho tâm $O$ của $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$. Gọi $C,D$ là hai giao điểm của $(C_1),(C_2)$. $A$ là điểm nằm trên $(C_1)$, $B$ là điểm nằm trên $(C_2)$ sao cho $AC$ tiếp xúc $(C_2)$ tại $C$ và $BC$ tiếp xúc $(C_1)$ tại $F$. Đường thẳng $CE$ cắt $(C_1)$ tại $G$, $CF$ cắt $GD$ tại $H$. Chứng minh rằng giao điểm của $GO$ và $EH$ là tâm ngoại tiếp của tam giác $DEF$.

Lời giải :

Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có :

$$\angle CEF=\angle ECA+\angle EAC,\angle CFE=\angle CBF+\angle FCB$$

Hơn nữa theo tính chất tiếp tuyến ta được :

$$\angle FCB=\angle EAC,\angle ECA=\angle CFE$$

Như vậy suy ra hai góc $CEF,CFE$ bằng nhau, suy ra tam giác $CFE$ cân tại $C$.

Dễ dàng nhìn ra $AO$ chính là trung trực của $CD$ nên ta được hai cung $CA,CD$ bằng nhau. Suy ra hai góc nội tiếp $CFA,CFD$ bằng nhau. Theo trên ta có $\angle CFA=\angle CFE=\angle CEF$. Được $FD\parallel GC$.

Ta có :

$$\angle DEG=\angle DBC=\frac{1}{2}\angle DOC=\angle COI$$

Hơn nữa lại có $\angle EGD=\angle CGD=\frac{1}{2}\angle CID=\angle CIO$.

Từ đó thấy ngay hai tam giác $CIO,EGD$ đồng dạng mà tam giác $CIO$ cân nên tam giác $EGD$ cân.

Lại dễ thấy $GO$ là phân giác của tam giác $EGD$ nên nó cũng là trung trực của $ED$ $(1)$.

Vì $FD$ song song $GC$ nên $CF=GD$, tam giác $GED$ cân nên $GD=GE$. Tam giác $CEF$ cân nên $CE=CF$.

Suy ra được $CE=EG$.

Vì $CFDG$ là hình thang cân nên hai góc $GCH,CGH$ bằng nhau. Tam giác $GCH$ cân có trung tuyến $HE$ nên $HE$ cũng là trung trực của $GC$, suy ra $HE$ là trung trực của $FD$ $(2)$

Từ $(1)(2)$ ta có điều phải chứng minh.