Geometry

Bài toán (Kiểm tra đội tuyển THPT Chuyên Hà Tĩnh 2013-2014)

Cho tam giác đều $ABC$ và điểm $D$ di động trên đoạn thẳng $BC$. Gọi $I$ là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc $D$ của tam giác $ABD$ và $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $D$ của tam giác $ACD$. Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB$ và $AJC$ lần lượt là $O_1$ và $O_2$

a) Chứng minh rằng đường tròn đường kính $O_1{O}_2$ đi qua $D$.

b) Gọi $F$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $AIJ$ và $E$ là giao điểm khác $A$ của $(O_1)$ và $(O_2)$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $EF$ cắt $EI,EJ$ lần lượt tại $P,Q$. Chứng minh $\frac{A{I}^2}{A{J}^2}=\frac{IP}{JQ}$

Lời giải :

Bổ đề : 

Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. Đường thẳng vuông góc với $AI$ tại $I$ cắt hai cạnh $AB,AC$ tại $P,Q$. Khi đó ta có :

$$\frac{I{B}^2}{I{C}^2}=\frac{PB}{QC}$$

Chứng minh bổ đề :

Ta có :

$\angle PIB$$=\angle APQ-\angle ABI$$=90^0-\frac{\angle A}{2}-\frac{\angle B}{2}$$=\frac{\angle C}{2}$$=\angle QCI$

Tương tự thì $\angle PBI=\angle QIC$. Từ đó dẫn đến hai tam giác $BPI,IQC$ đồng dạng, kéo theo :

$$\frac{PB}{IQ}=\frac{PI}{QC}\Rightarrow PB.QC=P{I}^2=I{Q}^2$$

Cũng từ hai tam giác này đồng dạng mà :

$$\frac{B{I}^2}{C{I}^2}=\frac{P{B}^2}{I{Q}^2}=\frac{P{B}^2}{PB.QC}=\frac{PB}{QC}$$

Bổ đề được chứng minh.

Quay trở lại bài toán :

a) Ta có :

$\angle A{O}_{1}B$$=2\angle AIB$$=2\left(180^0-\angle IAB-\angle IBA\right)$$=2\left(180^0-\frac{180^0-\angle BAD}{2}-\frac{180^0-\angle ABD}{2}\right)$$=\angle BAD+\angle ABD$$=180^0-\angle ADB$$\Rightarrow \angle A{O}_{1}B+\angle ADB$$=180^0$

Do vậy bốn điểm $A,O_1,B,D$ đồng viên. Từ đó :

$$\angle AD{O}_1=\angle AB{O}_1=\frac{180^0-\angle A{O}_{1}B}{2}=\frac{\angle ADB}{2}$$

Tương tự được $\angle A{O}_{2}C=\frac{\angle ADC}{2}$. Từ đó có :

$$\angle O_{1}D{O}_2=\angle AD{O}_1+\angle AD{O}_2=\frac{\angle ADB+\angle ADC}{2}=90^0$$

Như vậy đường tròn đường kính $O_1{O}_2$ đi qua điểm $D$.

b) Ta có :

$\angle O_{1}AJ$$=\angle O_{1}AB+\angle BAC+\angle CAJ$$=\frac{180^0-\angle A{O}_{1}B}{2}+60^0+(180^0-\angle ACJ-\angle AJC)$$=270^0-\frac{\angle A{O}_{1}B}{2}-\angle AJC$$=270^0-\frac{\angle A{O}_{1}B+\angle A{O}_{2}C}{2}$$=270^0-\frac{(180^0-\angle ADB)+(180^0-\angle ADC)}{2}$$=180^0$

Như vậy thì ba điểm $O_1,A,J$ thẳng hàng. Tương tự ba điểm $O_2,A,I$ thẳng hàng.

Mà ta có $F{O}_1\perp AI,F{O}_2\perp AJ$ do $F$ là tâm ngoại tiếp tam giác $AIJ$.

Suy ra $A$ là trực tâm tam giác $F{O}_1{O}_2$, kéo theo $FA\perp O_1{O}_2$. Mà $AE\perp O_1{O}_2$ do $AE$ là trục đẳng phương của $(O_1),(O_2)$. Ta được ba điểm $A,E,F$ thẳng hàng.

Dễ dàng nhìn ra :

$$\angle AEI=\angle ABI=60^0=\angle ACJ=\angle AEJ$$

Như vậy $A$ thuộc phân giác trong góc $E$. Tiếp theo ta chỉ cần chứng tỏ $\angle IAJ=90^0+\frac{IEJ}{2}=150^0$ thì ta sẽ được $A$ là tâm nội tiếp tam giác $EIJ$. Thực vậy,

$\angle IAJ$$=\angle O_{1}A{O}_2$$=\angle O_{1}AB+\angle BAC+\angle O_{2}AC$$=\angle O_{1}DB+60^0+\angle O_{2}DC$$=60^0+90^0$$=150^0$

Từ đó áp dụng bổ đề ta được điều phải chứng minh :

$$\frac{A{I}^2}{A{J}^2}=\frac{IP}{JQ}$$