Inequality

Bài toán (Chọn học sinh giỏi THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội năm 2011-2012)

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng :

$\frac{a^3(b^7+c+1)}{b^7(b+1)(c+1)}+\frac{b^3(c^7+a+1)}{c^7(c+1)(a+1)}+\frac{c^3(a^7+b+1)}{c^7(a+1)(b+1)}$$\ge \frac{9}{4}$

Lời giải :

Ta có :

$$\frac{a^3(b^7+c+1)}{b^7(b+1)(c+1)}=\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{a^3}{b^7(b+1)}$$

Do vậy ta cần chứng minh :

$\sum _{sym}\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\sum _{cyc}\frac{a^3}{b^7(b+1)}$$\ge \frac{9}{4}$

Ta sẽ chứng minh từng kết quả sau :

$$\sum _{sym}\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}\ge \frac{3}{4}(\ast )$$

$$\sum _{cyc}\frac{a^3}{b^7(b+1)}\ge \frac{3}{2}(\ast \ast )$$

Theo AM-GM :

$$\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}+\frac{b+1}{8}+\frac{c+1}{8}\ge 3a$$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại theo vế :

$\sum _{sym}\frac{a^3}{(b+1)(c+1)}$$\ge \frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}$$\ge \frac{3}{2}-\frac{3}{4}$$=\frac{3}{4}$

Như vậy $(\ast )$ được chứng minh.

Ta chứng minh $(\ast \ast )$ như sau. Đổi biến $\left(a,b,c\right)\to \left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)$ với $x,y,z>0$ và $xyz=1$.

Bất đẳng thức $(\ast \ast )$ tương đương với :

$$\sum _{cyc}\frac{y^8}{x^3(y+1)}\ge \frac{3}{2}$$

Theo Cauchy-Schwarz :

$\sum _{cyc}\frac{y^8}{x^3(y+1)}$$\ge \frac{(x^4+y^4+z^4{)}^2}{(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)+(x^3+y^3+z^3)}$$\ge \frac{3(x^4+y^4+z^4)}{(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)+(x^3+y^3+z^3)}$

Chỉ cần chỉ ra được :

$$2(x^4+y^4+z^4)\ge x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x+x^3+y^3+z^3$$

Ta có :

$x^4+y^4+z^4$$=\frac{1}{4}\sum _{cyc}(x^4+x^4+x^4+y^4)$$\ge \frac{1}{4}\sum _{cyc}4x^{3}y$$=x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x$

Và theo BĐT Chebyshev thì :

$3(x^4+y^4+z^4)$$\ge (x+y+z)(x^3+y^3+z^3)$$\Rightarrow \frac{x^4+y^4+z^4}{x^3+y^3+z^3}$$\ge \frac{x+y+z}{3}$$\ge 1$$\Rightarrow x^4+y^4+z^4$$\ge x^3+y^3+z^3$

Như vậy $(\ast \ast )$ cũng được chứng minh. Ta có điều phải chứng minh.