Arithmetic Sequence

Bài toán (Vietnamese Mathematical Olympiad 1997)

Cho dãy số $(a_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{a}_0=1,a_1=45\\ a_{n+2}=45a_{n+1}-7a_n\end{array}$$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ thì $1997a_n^2+4.7^{n+1}$ luôn là một số chính phương.

Lời giải :

Không khó để chứng minh được bằng quy nạp :

$$a_{n+1}^2-a_{n+2}{a}_n=7^{n+1}$$

Từ đó áp dụng công thức xác định dãy ta có :

$$a_{n+1}^2-(45a_{n+1}-7a_n)a_n=7^{n+1}\iff a_{n+1}^2-45a_n{a}_{n+1}+7a_n^2-7^{n+1}=0$$

Phương trình $x^2-45a_{n}x+7a_n^2-7^{n+1}=0$ có nghiệm nguyên $a_{n+1}$ nên biệt thức :

$$\Delta =(-45a_n{)}^2-4(7a_n^2-7^{n+1})=1997a_n^2+4.7^{n+1}$$

Là một số chính phương.

Ta có điều phải chứng minh.

 

Bài toán này là một trường hợp cụ thể của tính chất đặc biệt sau đây của dãy truy hồi tuyến tính cấp hai :

Cho dãy số $(u_n)$ : $a{u}_{n+1}+b{u}_n$. Khi đó ta có :

i) $u_{n+2}{u}_n-u_{n+1}^2=(-b{)}^{n-1}(u_3{u}_1-u_2^2)$

ii) $u_{n+2},-b{u}_n$ là hai nghiệm của phương trình $t^2-a{u}_{n+1}t-b{u}_{n+1}^2+(-b{)}^n.(u_3{u}_1-u_2^2)=0$.

iii) $(a^2+4b)u_{n+1}^2-4c(-b{)}^n$ là số chính phương.