Sequence – Limit

Bài toán : Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $0<x_0<x_1$ và :

$\sqrt{1+x_n}\left(1+\sqrt{x_{n-1}{x}_{n+1}}\right)$$=\sqrt{1+x_{n-1}}\left(1+\sqrt{x_n{x}_{n+1}}\right),\forall n$$\ge 1$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Lời giải :

Vì $0<x_0<x_1$ nên tồn tại các số ${\alpha }_0,{\alpha }_1\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ sao cho :

$$x_0=ta{n}^2{\alpha }_0,x_1=ta{n}^2{\alpha }_1$$

Ta có :

$\sqrt{1+x_1}\left(1+\sqrt{x_0{x}_2}\right)$$=\sqrt{1+x_0}\left(1+\sqrt{x_1{x}_2}\right)$$\iff \frac{1}{cos{\alpha }_1}\left(1+tan{\alpha }_0\sqrt{x_2}\right)$$=\frac{1}{cos{\alpha }_0}\left(1+tan{\alpha }_1\sqrt{x_2}\right)$$\iff \sqrt{x_2}$$=\frac{cos{\alpha }_0-cos{\alpha }_1}{sin{\alpha }_1-sin{\alpha }_0}$$=tan\frac{{\alpha }_0+{\alpha }_1}{2}$$\iff x_2$$=ta{n}^2\frac{{\alpha }_0+{\alpha }_1}{2}$

Xét dãy $({\alpha }_n)$ như sau :

$$\{\begin{array}{c}{\alpha }_0,{\alpha }_1\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)\\ {\alpha }_{n+1}=\frac{1}{2}\left({\alpha }_n+{\alpha }_{n-1}\right)\end{array}$$

Phương trình sai phân này cho ta :

${\alpha }_n$$=\frac{{\alpha }_0+2{\alpha }_1}{3}+\frac{2}{3}({\alpha }_0-{\alpha }_1).{\left(\frac{-1}{2}\right)}^n$

Do đó mà :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\alpha }_n=\frac{{\alpha }_0+2{\alpha }_1}{3}$$

Ta chứng minh được bằng quy nạp :

$$x_{n+1}=ta{n}^2{\alpha }_{n+1}$$

Từ đó ta được :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$$=\underset{n\to +\infty }{\lim }(ta{n}^2{\alpha }_n)$$=ta{n}^2\left(\underset{n\to +\infty }{\lim }{\alpha }_n\right)$$=ta{n}^2\left(\frac{{\alpha }_0+2{\alpha }_1}{3}\right)$