Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(1)=\frac{1}{2}$$ và $f(xy)$$=f(x)f\left(\frac{3}{y}\right)+f(y)f\left(\frac{3}{x}\right),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(1)$

Lời giải :

Trong $(1)$ lấy $x=y=1$ được $f\left(3\right)=\frac{1}{2}$.

Trong $(1)$ lấy $y=1$ được :

$$f(x)=f\left(\frac{3}{x}\right),\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$$

Từ đó $(1)$ trở thành :

$$f(xy)=2f(x)f(y),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(2)$$

Trong $(2)$ thay $y$ bởi $\frac{3}{x}$ :

$f(3)$$=2f(x)f\left(\frac{3}{x}\right)$$=2f^2\left(x\right)$$\Rightarrow f^2(x)$$=\frac{1}{4},\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$

Từ đó trong $(2)$ thay $x=y$ được :

$f(x^2)$$=2f^2(x)$$=\frac{1}{2},\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$$\Rightarrow f(x)$$=\frac{1}{2},\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$

Thử lại thỏa mãn. Có duy nhất một hàm số thỏa mãn bài ra là :

$$f(x)=\frac{1}{2},\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$$