Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Bến Tre, tỉnh Bến Tre năm 2013)

Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x-f(y))=f(f(y))-2xf(y)+f(x)-2,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Vì hàm $f\equiv 0$ không thỏa đề nên $\exists u\in \mathbb{R}:f(u)\ne 0$. Trong $(1)$ cho $y=k$ :

$$f(x-f(k))-f(x)=f(f(k))-2xf(k)-2,\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đây suy ra hàm số $f(x-f(k))-f(x)$ toàn ánh. Do đó với mọi số thực $\alpha$ thì luôn tồn tại các số thực $u,v$ sao cho :

$$\alpha =f(u)-f(v)$$

Trong $(1)$ chọn $x=f(y)$ được :

$f(0)$$=f(f(y))-2f^2(y)+f(f(y))-2,\forall y\in \mathbb{R}$$\iff f(f(y))$$=f^2(y)+1+\frac{f(0)}{2},\forall y\in \mathbb{R}$

Từ đó mà ta có :

$f(\alpha )$$=f\left(f(u)-f(v)\right)$$=f(f(v))-2f(u)f(v)+f(f(u))-2$$=\left(f^2(v)+1+\frac{f(0)}{2}\right)-2f(u)f(v)+\left(f^2(u)+1+\frac{f(0)}{2}\right)-2$$=(f(u)-f(v){)}^2+f(0)$$={\alpha }^2+f(0),\forall \alpha \in \mathbb{R}$

Hay là :

$$f(x)=x^2+c,\forall x\in \mathbb{R},c=const$$

Thay vào $(1)$ tìm được $c=2$. Hàm số thỏa đề là :

$$f(x)=x^2+2,\forall x\in \mathbb{R}$$