Functional Equation

Bài toán (Italy Team Selection Test 2007)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xy+f(x))=xf(y)+f(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Ta thấy nếu $f$ hằng thì $f\equiv 0$, xét $f$ không hằng. Ta chứng minh $f$ đơn ánh như sau.

Với mọi $a,b\in \mathbb{R}$ thỏa $f(a)=f(b)$.

Trong $(1)$ lần lượt lấy $x=a,y=b$ và $x=b,y=a$ ta được :

$$f(ab+f(a))=af(b)+f(a)$$

$$f(ab+f(b))=bf(a)+f(b)$$

Từ hai điều trên suy ra $a=b$, do đó $f$ đơn ánh.

Tiếp theo trong $(1)$ cho $x=y=0$ và chú ý tính đơn ánh của $f$ :

$$f(f(0))=f(0)\Rightarrow f(0)=0$$

Trong $(1)$ cho $y=0$ được :

$$f(f(x))=f(x),\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$

Vậy có hai hàm thỏa mãn bài ra là :

$$f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$