Functional Equation

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO thành phố Hà Nội 2013-2014)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+f(y))=f^2(y)+2xf(y)+f(-x),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Nhận thấy rằng hàm $f\equiv 0$ thỏa mãn bài ra. Gỉa sử $\exists a\in \mathbb{R}:f(a)\ne 0$. Trong $(1)$ cho $y=a$ :

$$f(x+f(a))-f(-x)=f^2(a)+2xf(a),\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đây suy ra hàm $f(x+f(a))-f(-x)$ là toàn ánh. Do đó với mọi số thực $t$ thì luôn tồn tại các số thực $u,v$ sao cho :

$$t=f(u)-f(v)$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-f(x)$ :

$$f(f(y)-f(x))=f^2(y)-2f(x)f(y)+f(f(x)),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lấy $x=y$ được $f(f(x))=f^2(x)+f(0),\forall x\in \mathbb{R}$

Từ đó dẫn đến :

$$f(f(y)-f(x))=f^2(y)-2f(x)f(y)+f^2(x)+f(0)=(f(y)-f(x){)}^2+f(0),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Từ đó mà :

$$f(t)=f(f(u)-f(v))=(f(u)-f(v){)}^2+f(0)=t^2+c,\forall t\in \mathbb{R}$$

Thay vào $(1)$ tìm được $c=0$.

Các hàm số thỏa mãn bài toán là :

$$f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(x)=x^2,\forall x\in \mathbb{R}$$