Geometry

Bài toán : Cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Hai đường thẳng $d$ và $\Delta$ theo thứ tự qua $A,C$ và vuông góc với $AC$. $M$ là điểm bất kì trên $\Delta$. Vẽ các tiếp tuyến $MD,ME$ đến đường tròn đường kính $AB$ với $D,E$ là hai tiếp điểm. $MD,ME$ cắt $d$ tại $P,Q$. $BD,BE$ cắt $d$ tại $R,S$.

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $BRS$ luôn đi qua hai điểm cố định.

b) Tìm vị trí điểm $M$ để chu vi tam giác $MPQ$ nhỏ nhất.

Lời giải :

a) Gọi $T$ là giao của $(BRS)$ với $AC$. Ta chứng minh điểm $T$ này cố định.

Gọi $K$ là giao của $DE,AB$.

Thực vậy, dễ thấy rằng $AD\perp RB$. Trong tam giác vuông $ARB$ và có đường cao $AD$ ta có $\angle DAB=\angle ARB$

Do tứ giác $BRTS$ nội tiếp nên $\angle ARB=\angle BTS$ và có $\angle DAB=\angle DEB$.

Kéo theo :

$$\angle DEB=\angle BTS$$

Vậy nên tứ giác $KEST$ nội tiếp. Do vậy $BK.BT=BE.BS=A{B}^2(1)$

Gọi $X$ là giao điểm của $OM$ và $DE$. Dễ thấy $OM,DE$ vuông góc nhau tại $X$.

Từ đó có $OK.OC=OX.OM=O{D}^2=A{B}^2/4$, đẳng thức này cho ta điểm $K$ cố định. Kết hợp với $(1)$ suy ra $T$ cố định. Mà $(BRS)$ hiển nhiên đi qua $B$ cố định. Do vậy nó đi qua hai điểm cố định.

b)

Theo tính chất tiếp tuyến ta có $PD=PA$, hơn nữa tam giác $RDA$ vuông tại $D$. Ta suy ra được $P$ là trung điểm của $RA$. Tương tự thì $Q$ là trung điểm của $SA$.

Ta có :

$$p_{MPQ}=\frac{S_{MPQ}}{r_{MPQ}}=\frac{S_{MPQ}}{A{B}^2/4}$$.

Do đó để $p_{MPQ}$ nhỏ nhất thì $S_{MPQ}$ nhỏ nhất.

Do khoảng cách từ $M$ đến $PQ$ không đổi nên chỉ cần độ dài đoạn $PQ$ là nhỏ nhất.

Ta lại có :

$$PQ=AP+AQ\ge 2\sqrt{AP.AQ}=2\sqrt{\frac{AR.AS}{4}}=\sqrt{AB.AT}=const$$

Và đẳng thức xảy ra khi $AP=AQ$. Khi đó do hai tam giác $MPQ,MDE$ cùng cân nên $DE\parallel d\parallel \Delta$. Kéo theo $M$ thuộc $AC$ hay $M$ trùng $C$.

Vậy để chu vi tam giác $MPQ$ nhỏ nhất thì $M$ trùng $C$.