Functional Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2011 THPT Chuyên Bạc Liêu, tỉnh Bạc Liêu)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)+y^2)=f^2(x)-f(x)f(y)+xy+x,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ lần lượt lấy $y=1,y=-1$ ta được :

$$f(f(x)+1)=f^2(x)-f(x)f(1)+2x,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(f(x)+1)=f^2(x)-f(x)f(-1),\forall x\in \mathbb{R}$$

Trừ vế theo vế hai kết quả trên :

$f(x)f(1)-2x$$=f(x)f(-1),\forall x\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x)\left[f(1)-f(-1)\right]$$=2x,\forall x\in \mathbb{R}(2)$

Nếu $f(1)=f(-1)$ từ $(2)$ ta suy ra $x=0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vô lí. Do đó có $f(1)\ne f(-1)$. Suy ra :

$$f(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R}$$

Thay vào $(1)$ tìm được $c=0$. Thử lại không thỏa mãn. Vậy không tồn tại hàm số nào thỏa mãn bài ra.