Geometry

Bài toán (Moldova Team Selection Test 2014)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có phân giác trong $AD$. $E,F$ là hình chiếu của $D$ trên $AB,AC$. $BF,CE$ giao nhau tại $K$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKE$ cắt $BF$ tại $L$. Chứng minh rằng $DL$ vuông góc $BF$.

Lời giải :

Kẻ đường cao $AH$. Ta chứng minh $AH,BF,CE$ đồng quy.

Thật vậy, ta có :

$\frac{BE}{AE}.\frac{FA}{FC}.\frac{HC}{HB}$$=\frac{ED.cotB}{ED.tan\angle EDA}.\frac{DF.tan\angle ADF}{DF.cotC}.\frac{cotC.HA}{cotB.HA}$$=1$

Do đó theo định lí Menelaus đảo, ta có $AH,BF,CE$ đồng quy. Từ đó $A,H,K$ thẳng hàng.

Gọi $L^{\prime }$ là chân vuông góc hạ từ $D$ xuống $BF$.

Chú ý các tứ giác $D{L}^{\prime }KH,BE{L}^{\prime }D$ nội tiếp, dẫn đến :

$$\angle AK{L}^{\prime }=\angle L^{\prime }DB=\angle AE{L}^{\prime }$$

Suy ra bốn điểm $A,E,K,L^{\prime }$ đồng viên. Từ đó có $L$ trùng $L^{\prime }$. Ta có điều phải chứng minh.