Functional Equation

Bài toán (Czech Polish Slovak Match 2012)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+f(y))-f(x)=(x+f(y){)}^4-x^4,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Nhận thấy hàm $f$ đồng nhất $0$ thỏa mãn. Gỉa sử $\exists a\in \mathbb{R}:f(a)\ne 0$

Khi đó trong $(1)$ ta cho $y=a$, ta được :

$$f(x+f(a))-f(x)=(x+f(a){)}^4-x^4,\forall x\in \mathbb{R}$$

Nhận thấy ${\left(x+f(a)\right)}^4-x^4$ là một đa thức bậc ba theo $x$ nên tập giá trị của nó là $\mathbb{R}$.

Từ đó suy ra hàm $f(x+f(a))-f(x)$ toàn ánh. Do đó với mọi số thực $t$ luôn tồn tại số thực $u,v$ để :

$$t=f(u)-f(v)$$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-f(y)$ :

$f(0)-f(-f(y))$$=(-f(y){)}^4,\forall y\in \mathbb{R}$$\iff f(-f(y))$$=-f^4(y)+f(0),\forall x\in \mathbb{R}(2)$

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-f(x)$ và chú ý kết quả $(2)$ :

$f(f(y)-f(x))-f(-f(x))$$=(f(y)-f(x){)}^4+f^4(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\iff f(f(y)-f(x))$$=(f(y)-f(x){)}^4+f(0),\forall x,y\in \mathbb{R}(3)$

Trong $(3)$ ta cho $x=u,y=v$ thay :

$$f(f(u)-f(v))=(f(u)-f(v){)}^4+f(0)\iff f(t)=t^4+f(0),\forall t\in \mathbb{R}$$

Hay là :

$$f(x)=x^4+a,\forall x\in \mathbb{R}$$

Thay vào $(1)$ tìm được $a=0$.

Vậy có hai hàm số thỏa mãn đề bài là :

$$f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(x)=x^4,\forall x\in \mathbb{R}$$