1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong cho ta được : Từ đây ta dễ dàng chứng minh được đơn ánh. Trong lần lượt cho ta được : Từ hai điều trên ta suy ra : Chú […]
Bài toán (Chọn học sinh giỏi THPT Chuyên Khoa học Tự Nhiên ĐHQGHN 2011-2012) Cho các số thực dương có tổng bằng . Chứng minh rằng : Lời giải : Theo BĐT Holder, ta có : Kéo theo : Với . Hơn nữa theo BĐT Schur : Và : Vậy nên chỉ cần chứng minh […]
Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 412) Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong lấy được : Do đó ta viết dưới dạng : Từ đây bằng quy nạp ta chứng minh được : Ta tính biểu thức bằng hai cách. Ta có : […]
Bài toán (Chọn đội tuyển VMO THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Đà Nẵng 2013-2014) Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Trong ta lấy được : Từ đó ta có : Trong lấy được : Sử dụng các kết quả trên ta đi tính bằng hai cách. Ta có : Từ hai […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Từ giả thiết ta có : Nhận thấy vế phải là một hàm bậc nhất và nhận mọi giá trị trên . Từ đó với mọi số thực dương , luôn tồn tại hai số thực dương sao cho : […]
Bài toán : Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện : Lời giải : Cố định , khi đó ta viết : Vế phải là hàm bậc nhất theo nên nhận mọi giá trị trên . Do vậy với mọi số thực dương , luôn tồn tại các số thực dương để […]
Bài toán (Iran National Mathematical Olympiad 3rd Round 2005) Tìm các số nguyên dương thỏa mãn : Lời giải : Dễ thấy lẻ. Nếu thì , vô lí. Do đó . Như vậy thì . Ta có : . Nếu cùng lẻ thì . Nếu lẻ và chẵn thì . Nếu chẵn và lẻ thì . Tất cả đều […]
Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, tỉnh Khánh Hòa) Tìm hàm và thỏa mãn : Lời giải : Cố định trong . Gỉa sử với mọi số thực mà . Ta có : Suy ra đơn ánh. Trong thay bởi : Do đơn ánh nên . Trong […]
Bài toán : Tìm hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Ta có thể viết phương trình hàm đã cho thành : Do vậy nếu ta đặt ta thu được dạng quen thuộc : Bằng phương pháp tính theo hai cách, không mấy khó khăn ta tìm được : Do đó các hàm […]
Bài toán (Pan African 2012) Tìm các số nguyên dương thoả mãn : Lời giải : Nếu thì Xét . Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng nếu thì . Với thì hiển nhiên. Giả sử . Xét với . Ta có : Theo nguyên lí quy nạp ta có : Do nên . Điều này là […]
Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2009) Tìm bộ ba số nguyên không âm thỏa mãn phương trình : Lời giải : Với thì không tồn tại thỏa đề. Ta chỉ xét . Dễ thấy khi đó : Kéo theo , suy ra chẵn. Cũng dễ thấy . Suy ra . Do chẵn nên . Suy ra . Vậy cũng chẵn. […]
Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2012) Tìm bộ ba số nguyên dương thoả mãn đồng thời : và Lời giải : Từ ta được cùng tính chẵn lẻ. Kết hợp với suy ra chẵn. Đặt với nguyên dương. Trường hợp cùng chẵn. Đặt với nguyên dương. Phương trình viết thành : Nếu mà […]
Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2011) Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz : Cần chỉ ra : Điều này luôn đúng vì ta hoàn toàn có thể giả sử Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2014) Cho các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh : Lời giải : Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho : Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz : Cần chứng minh : Điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM. Ta được điều phải chứng minh
Bài toán (Chọn học sinh giỏi THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên ĐHQGHN 2011-2012) Tam giác không cân nội tiếp . là điểm bất kỳ trong tam giác và không trùng . cắt tại . là đường kính của . lần lượt cắt tại . Gọi là giao của . là hình chiếu của trên […]
Bài toán : Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc các cạnh tại . Các điểm lần lượt là trung điểm của . Gọi là giao của đường tròn nội tiếp tam giác với , là tâm ngoại tiếp tam giác . Gọi theo thứ tự là giao của với đường tròn nội tiếp […]
Bài toán : Cho tam giác . Một đường tròn thay đổi qua cắt theo thứ tự tại . Tiếp tuyến tại của đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt nhau tại . Chứng minh rằng khi đường tròn qua thay đổi, điểm luôn thuộc một đường thẳng cố định. Lời giải : Gọi theo […]
Bài toán : Cho tam giác nhọn khác tam giác cân. là trung điểm của . và là các điểm thuộc sao cho và . cắt tại . Một đường tròn qua cắt các cạnh lần lượt ở . Chứng minh rằng đi qua trung điểm của . Lời giải : Theo định lí sin […]
Bài toán : Cho tam giác có các phân giác trong thỏa mãn vuông góc . Tính góc . Lời giải : Gọi là giao của và . Do đồng quy tại tâm nội tiếp tam giác nên (hàng điều hòa tứ giác toàn phần) Hơn nữa do vuông góc nên theo định lí về […]
Bài toán (IMO Shortlist 2011) Cho tứ giác lồi với không song song . Các đường tròn đường kính cắt nhau tại nằm trong tứ giác. Gọi lần lượt là đường tròn đi qua các hình chiếu của trên , của trên . Chứng minh rằng hai giao điểm của cùng với trung điểm của […]