Number Theory

Bài toán (Iran National Mathematical Olympiad 3rd Round 2005)

Tìm các số nguyên dương $n,p,q$ thỏa mãn :

$$2^n+n^2=3^p{7}^q$$

Lời giải :

Dễ thấy $n$ lẻ. Nếu $n=1$ thì $3^p{7}^q=3$, vô lí. Do đó $n\ge 3$. Như vậy thì $8\mid 2^n$.

Ta có :

$$3^p{7}^q=2^n+n^2\equiv 1(mod8)$$.

Nếu $p,q$ cùng lẻ thì $3^p{7}^q\equiv 5(mod8)$. Nếu $p$ lẻ và $q$ chẵn thì $3^p{7}^q\equiv 3(mod8)$. Nếu $p$ chẵn và $q$ lẻ thì $3^p{7}^q\equiv 7(mod8)$. Tất cả đều mâu thuẫn. Do vậy $p,q$ cùng chẵn.

Đặt $p=2a,q=2b$ với $a,b$ nguyên dương. Ta được phương trình tích :

$$(3^a{7}^b-n)(3^a{7}^b+n)=2^n$$

Nếu gọi $d=\gcd (3^a{7}^b-n,3^a{7}^b+n)$ thì có $d\mid 2.3^a.7^b$.

Hiển nhiên $21\mid d$ vì nếu vậy ta suy ra $21\mid 2^n$, mâu thuẫn. Do đó $d=2$.

Ta được :

$$\{\begin{array}{c}{3}^a{7}^b-n=2\\ 3^a{7}^b+n=2^{n-1}\end{array}$$

Ta được phương trình :

$$2^{n-2}=1+n$$

Rõ ràng với $n\ge 5$, ta hoàn toàn chứng minh được bằng quy nạp rằng $2^{n-2}>n+1$. Suy ra $n=4$, mâu thuẫn vì $n$ lẻ.

Do vậy không tồn tại bộ số thỏa mãn bài ra.