Functional Equation

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(xy+f(x))+f(x-yf(x))=2x,\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $y=0$ ta được :

$$f(f(x))+f(x)=2x,\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ đây ta dễ dàng chứng minh được $f$ đơn ánh.

Trong $(1)$ lần lượt cho $y=1,y=-1$ ta được :

$$f(x+f(x))+f(x-f(x))=2x,\forall x\in \mathbb{R}$$

$$f(-x+f(x))+f(x+f(x))=2x,\forall x\in \mathbb{R}$$

Từ hai điều trên ta suy ra :

$$f(x-f(x))=f(-x+f(x)),\forall x\in \mathbb{R}$$

Chú ý do $f$ đơn ánh nên ta có :

$$x-f(x)=-x+f(x),\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$

Thử lại thỏa mãn. Do vậy có duy nhất một hàm số thỏa mãn bài ra là :

$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$