Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2009) Tìm bộ ba số nguyên không âm $(x,y,z)$ thỏa mãn phương trình : \[2^x+2009=3^y5^z\] Lời giải : Với $x=0,1,2$ thì không tồn tại $x,y,z$ thỏa đề. Ta chỉ xét $x\geq 3$. Dễ thấy khi đó : \[2^x+2009\equiv 1\;(mod\;4)\] Kéo theo $3^y5^z\equiv 1\;(mod\;4)$, suy ra $y$ chẵn. Cũng dễ thấy $2^x+2009\equiv 1\;(mod\;8)$. Suy ra $3^y5^z\equiv 1\;(mod\;8)$. Do $y$ chẵn nên $3^y\equiv 1\;(mod\;8)$. Suy ra $5^{z}\equiv 1\;(mod\;8)$. Vậy $z$ cũng chẵn. Tiếp theo xét theo modulo $3$ : Nếu $y=0$ thì được $2^x+2009=5^z$. Từ đây suy ra $2^x\equiv 1\;(mod\;5)\Rightarrow 4\mid x$. Ta đưa được về dạng tích : \[\left ( 5^{z/2}-2^{x/2} \right )(5^{z/2}+2^{x/2})=2009\] Phương trình này không cho nghiệm nguyên không âm. Ta chỉ xét $y\geq 1$. Từ đó mà : \[2^{x}+2009=3^y5^z\equiv 0\;(mod\;3)\Rightarrow 2^x\equiv 1\;(mod\;3)\Rightarrow 2\mid x\] Ta có $x,y,z$ đều chẵn nên đặt $x=2a,y=2b,z=2c$ với $a,b,c\in \mathbb{N}$. Ta đưa phương trình về dạng : \[(3^b5^c-2^a)(3^b5^c+2^a)=2009\] Nếu gọi $d=\gcd(3^b5^c-2^a,3^b5^c+2^a)$ thì có $d\mid 2^{a+1}$. Dễ lập luận được $d=1$. Do vậy : \[\left\{\begin{matrix} 3^b5^c-2^a=1\\ 3^b5^c+2^a=2009 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{a+1}=2008\] Không tìm được số tự nhiên $a$ thỏa mãn điều này. Kết luận là không tồn tại bộ ba số nguyên không âm nào thỏa mãn phương trình đề bài.

Number Theory

Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2009)

Tìm bộ ba số nguyên không âm $(x, y, z)$ thỏa mãn phương trình :

$2^{x} + 2009 = 3^{y} 5^{z}$

Lời giải :

Với $x = 0, 1, 2$ thì không tồn tại $x, y, z$ thỏa đề. Ta chỉ xét $x \geq 3$ .

Dễ thấy khi đó :

$2^{x} + 2009 \equiv 1 (m o d 4)$

Kéo theo $3^{y} 5^{z} \equiv 1 (m o d 4)$ , suy ra $y$ chẵn.

Cũng dễ thấy $2^{x} + 2009 \equiv 1 (m o d 8)$ . Suy ra $3^{y} 5^{z} \equiv 1 (m o d 8)$ . Do $y$ chẵn nên $3^{y} \equiv 1 (m o d 8)$ . Suy ra $5^{z} \equiv 1 (m o d 8)$ . Vậy $z$ cũng chẵn.

Tiếp theo xét theo modulo $3$ :

Nếu $y = 0$ thì được $2^{x} + 2009 = 5^{z}$ . Từ đây suy ra $2^{x} \equiv 1 (m o d 5) \Rightarrow 4 ∣ x$ .

Ta đưa được về dạng tích :

$(5^{z /2} - 2^{x /2}) (5^{z /2} + 2^{x /2}) = 2009$

Phương trình này không cho nghiệm nguyên không âm.

Ta chỉ xét $y \geq 1$ . Từ đó mà :

$2^{x} + 2009 = 3^{y} 5^{z} \equiv 0 (m o d 3) \Rightarrow 2^{x} \equiv 1 (m o d 3) \Rightarrow 2 ∣ x$

Ta có $x, y, z$ đều chẵn nên đặt $x = 2 a, y = 2 b, z = 2 c$ với $a, b, c \in N$ .

Ta đưa phương trình về dạng :

$(3^{b} 5^{c} - 2^{a}) (3^{b} 5^{c} + 2^{a}) = 2009$

Nếu gọi $d = g cd (3^{b} 5^{c} - 2^{a}, 3^{b} 5^{c} + 2^{a})$ thì có $d ∣ 2^{a + 1}$ . Dễ lập luận được $d = 1$ . Do vậy :

${3^{b} 5^{c} - 2^{a} = 1 3^{b} 5^{c} + 2^{a} = 2009 \Rightarrow 2^{a + 1} = 2008$

Không tìm được số tự nhiên $a$ thỏa mãn điều này.

Kết luận là không tồn tại bộ ba số nguyên không âm nào thỏa mãn phương trình đề bài.

Number Theory

Đề bài

Mô tả