Number Theory

Bài toán (Middle European Mathematical Olympiad 2012)

Tìm bộ ba số nguyên dương $(x, y, z)$ thoả mãn đồng thời :

$x^{y} + y^{x} = z^{y} (1)$ và $x^{y} + 2012 = y^{z + 1} (2)$

Lời giải :

Từ $(2)$ ta được $x, y$ cùng tính chẵn lẻ. Kết hợp với $(1)$ suy ra $z$ chẵn. Đặt $z = 2 c$ với $c$ nguyên dương.

Trường hợp $x, y$ cùng chẵn. Đặt $x = 2 a, y = 2 b$ với $a, b$ nguyên dương.

Phương trình $(2)$ viết thành :

$(2 a)^{2 b} + 2012 = (2 b)^{2 c + 1} (3)$

Nếu mà $b = 1$ thì $y = 2$ .

Khi đó từ $(2)$ có $x^{2} + 2012 = 2^{z + 1}$ . Cùng với $(1)$ là $x^{2} + 2^{x} = z^{2}$ . Ta suy ra được rằng :

$z^{2} + 2012 = 2^{z + 1} + 2^{x} (*)$

Bằng quy nạp, không mấy khó khăn ta sẽ chỉ ra được :

$2^{z + 1} > z^{2} + 2012, \forall z \geq 11$

Từ đó dẫn đến $2^{z + 1} + 2^{x} > z^{2} + 2012$ . Mâu thuẫn với $(*)$

Do vậy mà phải có $z \leq 10$ . Chú ý vì $x^{2} + 2012 = 2^{z + 1} \Rightarrow 2^{z + 1} > 2012 \Rightarrow z \geq 10$ . Vậy $z = 10$ .

Suy ra được $x = 6$ .

Trường hợp này ta thu được bộ $(6, 2, 10)$ thỏa mãn bài ra.

Nếu $b > 1$ thì từ $(3)$ ta suy ra :

$2012 = (2 b)^{2 c + 1} - (2 a)^{2 b} \equiv 0 (m o d 8)$

Điều này vô lí.

Trường hợp $x, y$ cùng lẻ.

Khi $y = 1$ ta dễ dàng gặp mâu thuẫn. Khi $y > 1$ thì :

$x^{y} + y^{x} = z^{y} \equiv 0 (m o d 4)$

$x^{y} \equiv y^{z + 1} (m o d 4)$

Kết hợp hai điều trên ta được :

$y^{z + 1} + y^{x} \equiv 0 (m o d 4)$

Chú ý rằng từ $(1)$ ta phải có $x < z < z + 1$ . Từ đó chú ý $y$ lẻ :

$y^{x} (y^{z + 1 - x} + 1) \equiv 0 (m o d 4) \Rightarrow y^{z + 1 - x} \equiv 3 (m o d 4)$

Ta gặp mâu thuẫn vì $z + 1 - x$ là số chẵn và một số chính phương không thể chia $4$ dư $3$ .

Đáp số của bài toán là $(x, y, z) = (6, 2, 10)$

Đề bài