Functional Equation

Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 412)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x^3+y^3)=x^{2}f(x)+y^{2}f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ lấy $y=0$ được :

$$f(x^3)=x^{2}f(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Do đó ta viết $(1)$ dưới dạng :

$f(x^3+y^3)$$=f(x^3)+f(y^3),\forall x,y\in \mathbb{R}$$\Rightarrow f(x+y)$$=f(x)+f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$

Từ đây bằng quy nạp ta chứng minh được :

$$f(nx)=nf(x),\forall n\in \mathbb{Z}$$

Ta tính biểu thức $f((x+1{)}^3+(x-1{)}^3)$ bằng hai cách.

Ta có :

$$f((x+1{)}^3+(x-1{)}^3)=f(2x^3+6x)=f(2x^3)+f(6x)=2f(x^3)+6f(x)=2x^{2}f(x)+6f(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

$f((x+1{)}^3+(x-1{)}^3)$$=f((x+1{)}^3)+f((x-1{)}^3)$$=(x+1{)}^{2}f(x+1)+(x-1{)}^{2}f(x-1)$$=(x+1{)}^2(f(x)+f(1))+(x-1{)}^2(f(x)+f(-1)),\forall x\in \mathbb{R}$

Từ hai kết quả trên ta suy ra :

$2x^{2}f(x)+6f(x)$$=(x+1{)}^2(f(x)+f(1))+(x-1{)}^2(f(x)+f(-1)),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff f(x)$$=cx,\forall x\in \mathbb{R},c$$=const$

Thử lại thỏa mãn. Vậy có duy nhất một hàm số thỏa đề là :

$$f(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R},c=const$$