Functional Equation

Bài toán (Chọn đội tuyển VMO THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Đà Nẵng 2013-2014)

Tìm hàm số $f:{\mathbb{R}}^{+}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x+y)$$=x^{2}f\left(\frac{1}{x}\right)+y^{2}f\left(\frac{1}{y}\right),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(1)$

Lời giải :

Trong $(1)$ ta lấy $x=y$ được :

$$f(2x)=2x^{2}f\left(\frac{1}{x}\right),\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$$

Từ đó ta có :

$$f(x+y)=\frac{f(2x)+f(2y)}{2},\forall x,y\in \mathbb{R}(2)$$

Trong $(2)$ lấy $y=-x$ được :

$2f(0)$$=f(2x)+f(-2x),\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$$\Rightarrow f(-x)$$=2f(0)-f(x),\forall x\in \mathbb{R}$

Sử dụng các kết quả trên ta đi tính $f\left(\frac{x+1}{x}\right)$ bằng hai cách.

Ta có :

$f\left(\frac{x+1}{x}\right)$$=f\left(1+\frac{1}{x}\right)$$=f(1)+\frac{1}{x^2}f\left(x\right),\forall x\in \mathbb{R}$

$f\left(\frac{x+1}{x}\right)$$=f\left(2.\frac{x+1}{2x}\right)$$=2{\left(\frac{x+1}{2x}\right)}^{2}f\left(\frac{2x}{x+1}\right)$$=\frac{(x+1{)}^2}{2x}.f\left(2-\frac{2}{x+1}\right)$$=\frac{(x+1{)}^2}{2x}.\left[4f\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{4}{(x+1{)}^2}.f\left(\frac{-x-1}{2}\right)\right]$$=\frac{2(x+1{)}^2}{x}\left[f\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{4}{(x+1{)}^2}.\frac{f(-2x)+f(-1)}{2}\right]$$=\frac{2(x+1{)}^2}{x}\left[f\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{4}{(x+1{)}^2}.\frac{4f(0)-f(x)-f(1)}{2}\right],\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$

Từ hai điều này suy ra :

$\frac{2(x+1{)}^2}{x}\left[f\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{4}{(x+1{)}^2}.\frac{4f(0)-f(x)-f(1)}{2}\right]$$=f(1)+\frac{1}{x^2}f\left(x\right),\forall x\in \mathbb{R}$$\iff 2f(x)$$=2f\left(\frac{1}{2}\right)(x+1{)}^2+4f(0)-f(1)-x^{2}f(1),\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$

Dễ thấy :

$$f(x)=a{x}^2+bx+c,\forall x\in \mathbb{R},a,b,c=const$$

Thay vào $(1)$ tìm được $a=c=0$. Đáp số của bài toán là :

$$f(x)=bx,\forall x\in \mathbb{R},b=const$$