Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(x+y^3)+2012y^2=f(x)+y^{2}f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Lời giải :

Ta có thể viết phương trình hàm đã cho thành :

$$f(x+y^3)-2012=\left(f(x)-2012\right)+y^2\left(f(y)-2012\right),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Do vậy nếu ta đặt $g(x)=f(x)-2012$ ta thu được dạng quen thuộc :

$$g(x+y^3)=g(x)+x^{2}g(x),\forall x,y\in \mathbb{R}$$

Bằng phương pháp tính theo hai cách, không mấy khó khăn ta tìm được :

$$g(x)=cx,\forall x\in \mathbb{R},c=const$$

Do đó các hàm số thỏa mãn bài ra là :

$$f(x)=cx+2012,\forall x\in \mathbb{R},c=const$$