Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{R}}^{+}\to {\mathbb{R}}^{+}$ thỏa mãn điều kiện :

$$f\left(\frac{f(x)}{y}\right)=yf(y)f(f(x)),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(1)$$

Lời giải :

Cố định $x$, khi đó ta viết :

$$\frac{f\left(\frac{f(x)}{y}\right)}{f(y)}=yf(f(x)),\forall x\in {\mathbb{R}}^{+}$$

Vế phải là hàm bậc nhất theo $y$ nên nhận mọi giá trị trên ${\mathbb{R}}^{+}$. Do vậy với mọi số thực dương $t$, luôn tồn tại các số thực dương $u,v$ để :

$$\frac{f(u)}{f(v)}=t$$

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $f(y)$ :

$f\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)$$=f(y)f(f(y))f(f(x)),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(2)$

Trong $(1)$ thay $y$ bởi $f(x)$ :

$$f(1)=f(x)f^2(f(x)),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}(3)$$

Từ $(2)(3)$ ta suy ra :

$f\left(\frac{f(x)}{f(y)}\right)$$=f(y).\sqrt{\frac{f(1)}{f(y)}}.\sqrt{\frac{f(1)}{f(x)}}$$=\sqrt{\frac{f(y)}{f(x)}}.f(1),\forall x,y\in {\mathbb{R}}^{+}$

Do vậy :

$f(t)$$=f\left(\frac{f(u)}{f(v)}\right)$$=f(1).\sqrt{\frac{f(v)}{f(u)}}$$=\frac{a}{\sqrt{t}},\forall t\in {\mathbb{R}}^{+}$

Thử lại ta thấy thỏa mãn. Đáp số của bài toán là :

$$f(x)=\frac{a}{\sqrt{x}},\forall x\in {\mathbb{R}}^{+},a=const$$