Geometry

Bài toán : Đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc các cạnh $AB,BC,CA$ tại $C_1,A_1,B_1$. Các điểm $A_2,B_2$ lần lượt là trung điểm của $B_1{C}_1,C_1{A}_1$. Gọi $P$ là giao của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ với $OC$, $O$ là tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $N,M$ theo thứ tự là giao của $P{A}_2,P{B}_2$ với đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh rằng giao điểm của $AN$ và $BM$ thuộc đường cao hạ từ $C$ của tam giác $ABC$.

Lời giải :

Gọi $S$ là giao của $AN$ và $BM$. Muốn chứng minh $CS$ là đường cao của tam giác thì ta chỉ cần chứng minh $CS$ và $CO$ là hai đường đẳng giác trong góc $C$.

Ta lần lượt chứng minh $(AS,AP),(BS,BP)$ là các cặp đường đẳng giác tương ứng trong góc $A,B$.

Gọi $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$.

Nhận thấy rằng $A_{2}I.A_{2}A=A_2{C}_1.A_2{B}_1=A_{2}N.A_{2}P$. Do đó bốn điểm $A,N,I,P$ đồng viên. Chú ý tam giác $NIP$ cân tại $I$ ta thu được :

$$\angle NAI=\angle NPI=\angle INP=\angle IAP$$

Vậy nên $AN,AP$ là hai đường đẳng giác trong góc $A$.

Tương tự $BM,BP$ là hai đường đẳng giác trong góc $B$.

Hơn nữa ta có $AP,BP,CP$ đồng quy tại $P$. $AN,BM,CS$ đồng quy tại $S$.

Và $(AN,AP),(BM,BP)$ là các cặp đường đẳng giác. Suy ra $CP,CS$ cũng là hai đường đẳng giác. Mà $CP$ đi qua tâm ngoại tiếp $O$ nên $CS$ chính là đường cao của tam giác $ABC$ hạ từ $C$. Ta có điều phải chứng minh.