Inequality

Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2014)

Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=3xyz$. Chứng minh :

$$x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x\ge 2(x+y+z)-3$$

Lời giải :

Chia hai vế của bất đẳng thức trên cho $xyz$ :

$$\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{3}{xyz}\ge \frac{2(x+y+z)}{xyz}$$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :

$$\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{z}{y}\ge \frac{(x+y+z{)}^2}{xy+yz+zx}=\frac{(x+y+z{)}^2}{3xyz}$$

Cần chứng minh :

$$\frac{(x+y+z{)}^2}{3xyz}+\frac{3}{xyz}\ge 2.\frac{x+y+z}{xyz}$$

Điều này hiển nhiên đúng theo AM-GM.

Ta được điều phải chứng minh