Number Theory

Bài toán (Pan African 2012)

Tìm các số nguyên dương $m, n$ thoả mãn :

$n^{m} - m ∣ m^{2} + 2 m$

Lời giải :

Nếu $n = 1$ thì $m - 1 ∣ m^{2} + 2 m = (m - 1)^{2} + 4 (m - 1) + 3 \Rightarrow m - 1 \in {1, 3} \Rightarrow m \in {2, 4}$

Xét $n \geq 2$ .

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng nếu $m \geq 6$ thì $2^{m} > m^{2} + 3 m$ .

Với $m = 6$ thì hiển nhiên. Giả sử $2^{m} > m^{2} + 3 m, \forall m \geq 6$ . Xét với $m + 1$ .

Ta có :

$2^{m + 1} > 2 (m^{2} + 3 m) = (m + 1)^{2} + 3 (m + 1) + m^{2} + m - 5 > (m + 1)^{2} + 3 (m + 1)$

Theo nguyên lí quy nạp ta có :

$2^{m} > m^{2} + 3 m, \forall m \geq 6$

Do $n \geq 2$ nên $n^{m} - m \geq 2^{m} - m > m^{2} + 2 m$ . Điều này là mâu thuẫn với $n^{m} - m ∣ m^{2} + 2 m$ .

Do vậy mà ta có $m \in {1, 2, 3, 4, 5}$ .

Với $m = 1$ ta được $n - 1 ∣ 3 \Rightarrow n \in {2, 4}$

Với $m = 2$ ta được $n^{2} - 2 ∣ 8 \Rightarrow n \in / Z$

Với $m = 3$ ta được $n^{3} - 3 ∣ 15 \Rightarrow n = 2$

Với $m = 4$ ta được $n^{4} - 4 ∣ 24 \Rightarrow n = 2$

Với $m = 5$ ta được $n^{5} - 5 ∣ 35 \Rightarrow n \in / Z$

Tất cả các cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là :

$(m, n) = (2, 1), (4, 1), (1, 2), (1, 4), (3, 2), (4, 2)$

Đề bài