Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nhọn khác tam giác cân. $M$ là trung điểm của $BC$. $D$ và $E$ là các điểm thuộc $AM$ sao cho $AD=BD$ và $AE=EC$. $DB$ cắt $CE$ tại $F$. Một đường tròn qua $B,C$ cắt các cạnh $AB,AC$ lần lượt ở $H,K$. Chứng minh rằng $AF$ đi qua trung điểm của $HK$.

Lời giải :

Theo định lí sin trong các tam giác $FAB,FAC$ :

$\frac{AB}{sin\angle AFB}$$=\frac{FA}{sin\angle ABD}$$=\frac{FA}{sin\angle BAM},\frac{AC}{sin\angle AFC}$$=\frac{FA}{sin\angle ACE}$$=\frac{FA}{sin\angle CAM}$

Ta suy ra :

$$\frac{sin\angle AFB}{sin\angle AFC}=\frac{AB}{AC}.\frac{sin\angle BAM}{sin\angle CAM}$$

Lại theo định lí sin trong tam giác $BAM,CAM$ :

$\frac{AB}{BM}$$=\frac{sin\angle AMB}{sin\angle BAM},\frac{AC}{MC}$$=\frac{sin\angle AMC}{sin\angle CAM}$$\Rightarrow \frac{AB}{AC}$$=\frac{sin\angle CAM}{sin\angle BAM}(BM$$=MC,\angle AMB+\angle AMC$$=180^0)$

Từ hai điều trên suy ra :

$$sin\angle AFB=sin\angle AFC\Rightarrow \angle AFB=\angle AFC$$

Theo tính chất góc ngoài tam giác :

$360^0-2\angle AFB$$=\angle BFC$$=\angle FDE+\angle FED$$=2\angle BAD+2\angle DAC$$=2\angle BAC$$\Rightarrow 180^0-\angle AFB$$=\angle BAC$$\Rightarrow \angle FAB+\angle FBA$$=\angle FAB+\angle FAC$$\Rightarrow \angle FBA$$=\angle FAC$$\Rightarrow \angle BAD$$=\angle FAC$

Từ đây có ngay $AM,AF$ đẳng giác trong góc $A$.

Hơn nữa dó $HK,BC$ đối song nên trung tuyến $d$ qua $A$ của tam giác $AHK$ sẽ đẳng giác với trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$.

Từ hai điều trên có ngay $AF$ trùng $d$, tức $AF$ là trung tuyến của tam giác $AHK$. Vậy $AF$ đi qua trung điểm của $HK$.