1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán : Một điểm thay đổi trên dây của đường tròn . Đường tròn đường kính có tâm cắt tại . Tia và cắt nhau tại . Tia cắt nhau tại . Chứng minh đi qua trung điểm của . Lời giải : Gọi là giao điểm của với . Áp dụng định lí […]
Bài toán : Cho tam giác . Một đường thẳng thay đổi nhưng song song cắt theo thứ tự tại . Gọi là giao của . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác cắt nhau tại điểm thứ hai là . Chứng minh khi thay đổi, điểm luôn thuộc một đường thẳng cố định. Lời […]
Bài toán : Cho tam giác có là tâm ngoại tiếp. Gọi theo thứ tự là tâm ngoại tiếp các tam giác . Chứng minh rằng đồng quy tại . Điểm nói trên là điểm Kosnita. Trong một tam giác, điểm Kosnita đẳng giác với tâm Euler của tam giác đó. Lời giải : Gọi […]
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp đường tròn với trực tâm , trọng tâm và tâm Euler . Gọi là điểm đối xứng của qua . Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua chân vuông vuông góc hạ từ xuống . Lời giải : Gọi là trung điểm của và là chân […]
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp với cố định, di chuyển trên . lần lượt đối xứng với qua . Chứng minh rằng đường thẳng qua vuông góc với luôn đi qua một điểm cố định khi di chuyển. Lời giải : Gọi là tâm Euler của tam giác và là hình chiếu […]
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp cố định với cố định và di động trên . lần lượt đối xứng với qua . Gọi là tâm ngoại tiếp tam giác . a) Gọi là tâm Euler của tam giác . Chứng minh rằng thẳng hàng. b) Chứng minh khi di động thì luôn […]
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp cố định và cố định, di chuyển trên . Gọi là đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua , là đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua . Gọi theo thứ tự là hình chiếu của lên . Chứng minh rằng đường thẳng qua vuông […]
Bài toán (Iran National Olympiad 3rd round 2011) Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh : Lời giải : Bất đẳng thức đã cho có thể viết dưới dạng : Ta có : Do vậy ta chỉ cần chứng minh : Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz Điều phải chứng minh.
Bài toán (Turkey Team Selection Test 2010) Cho các số dương . Chứng minh rằng : Lời giải : Theo AM-GM : Lại sử dụng Cauchy-Schwarz : Theo Cauchy-Schwarz : Cần chứng minh : Đặt . Chuẩn hóa . Cần chứng minh : Điều này đúng với
Bài toán : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương thì : Lời giải : Gọi là một số nguyên tố không vượt quá . Nếu : Dễ thấy Trường hợp này được giải quyết. Trường hợp . Ta có : Theo định lí Fermat nhỏ thì : Suy ra : Trong đó là […]
Bài toán : Cho . Chứng minh : Lời giải : Ta có thể viết BĐT đã cho dưới dạng : Theo Cauchy-Schwarz và AM-GM : Do vậy ta chỉ cần chứng minh : Kết quả này quen thuộc.
Bài toán : Cho tam giác cố định nội tiếp . Gọi là trực tâm tam giác, là một điểm di chuyển trên đường tròn ngoại tiếp tam giác . cắt đường thẳng qua vuông góc tại . cắt đường thẳng qua vuông góc tại . Chứng minh rằng : Trung điểm của luôn thuộc […]
Bài toán (Vietnam Mathematical Olympiad 2007) Cho hình thang nội tiếp có đáy lớn . là một điểm thuộc đường thẳng sao cho không tiếp xúc với . Đường tròn đường kính cắt tại khác . cắt tại . giao tại . Chứng minh rằng khi thay đổi thì luôn đi qua một điểm cố […]
Bài toán : Xét dãy số : . Chứng minh rằng dãy số đã cho có vô số số hạng là một số chính phương. Lời giải : Nhận xét rằng luôn tồn tại hai dãy số nguyên dương thỏa mãn : Khi ấy : Hơn nữa ta có nhận xét sau : Vậy nếu […]
Bài toán (Balkan Mathematical Olympiad 2002) Cho dãy số thỏa mãn : Tìm tất cả các giá trị của để là số chính phương. Lời giải : Dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp : Khi đó : Và : Xét thì (chú ý dãy tăng) Do đó : Vậy nên suy ra : […]
Bài toán : Cho các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Lời giải : Đổi biến thì . Cần chứng minh : Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz : Và cần chứng minh : Luôn đúng theo AM-GM :
Bài toán (Austria 1997) Cho dãy các số nguyên dương xác định bởi : Chứng minh rằng nếu thì . Lời giải : Trước hết ta giả sử phương trình có nghiệm và . Khi đó dễ có . Gỉa sử phản chứng rằng . Thì ta có : Sử dụng nhận xét trên, ta có là một hoán vị của […]
Bài toán (Vietnam Team Selection Test 2011) Cho dãy số nguyên dương : Chứng minh rằng : Lời giải : Dễ thấy dãy xác định như trên là duy nhất. Bằng cách tính thêm giá trị ta tuyến tính hóa dãy . Xét dãy : Cũng dễ thấy dãy xác định như trên là duy […]
Bài toán : Cho dãy số : Chứng minh rằng là một số chính phương. Lời giải : Xét dãy : Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng : Với thì hiển nhiên đúng. Gỉa sử đúng. Xét tiếp với : Theo nguyên lí quy nạp ta có . Suy ra : Hơn nữa […]
Bài toán (Vietnam Team Selection Test 2004) Cho dãy số xác định bởi : a) Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên dương. b) Chứng minh có vô số số nguyên dương sao cho có bốn chữ số tận cùng là . b) Chứng minh rằng không tồn tại số […]