1018 tài liệu
Tài liệu chuyên đề, lý thuyết và phương pháp theo chủ đề.
Bài toán (Bulgaria 1996) Cho dãy số : Chứng minh rằng với mọi thì . Lời giải : Trước hết ta có một nhận xét sau : Nếu là các số nguyên dương thì ta có : Và ta dễ dàng chứng minh được nhận xét này. Tiếp theo, ta chứng minh bài toán bằng quy […]
Bài toán : (Vietnam Mathematical Olympiad 1999) Cho hai dãy xác định bởi : a) Chứng minh rằng : b) Gỉa sử là các số nguyên dương thỏa mãn . Chứng minh rằng tồn tại số sao cho . Lời giải : a) Ta sẽ xây dựng mối quan hệ giữa hai dãy như sau […]
Bài toán (Chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT Chuyên Khoa học Tự Nhiên, ĐHQGHN 2011-2012) Cho dãy số được xác định như sau : Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho chia hết cho . Lời giải : Bổ đề : Cho là một số nguyên dương. Khi đó ta có . Chứng minh […]
Bài toán : Cho dãy số xác định bởi : Chứng minh rằng không có một số hạng nào của dãy biểu diễn được dưới dạng tổng của ba lũy thừa bậc bảy của ba số nguyên. Lời giải : Từ đề bài : Ta thấy : Bằng quy nạp ta được . Với số nguyên […]
Bài toán : Cho tam giác phân giác , tâm ngoại tiếp , tâm đường tròn bàng tiếp góc là . Chứng minh rằng vuông góc . Lời giải : Gọi theo thứ tự là tâm bàng tiếp góc của tam giác . Khi đó dễ dàng nhận thấy là trực tâm tam giác , […]
Bài toán (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 424 – Trần Quang Hùng) Cho tam giác , tâm ngoại tiếp , tâm nội tiếp và tâm bàng tiếp góc là . cắt tại . Đường thẳng qua vuông góc cắt tại . Chứng minh rằng đi qua trung điểm của . Lời giải […]
Bài toán : Cho tam giác nội tiếp và ngoại tiếp . theo thứ tự cắt tại và cắt tại khác . Chứng minh rằng các đường thẳng qua lần lượt vuông góc với đồng quy tại trung điểm của . Lời giải : Gọi là trung điểm của . Kí hiệu lần lượt là […]
Bài toán (AoPS) Cho tam giác có phân giác và cắt đường tròn ngoại tiếp tại hai điểm . Gọi là tâm bàng tiếp góc của tam giác. Chứng minh tam giác cân. Lời giải : Theo bài toán này thì ta có vuông góc hay vuông góc . Như vậy cũng sẽ đi qua […]
Bài toán (AoPS) Cho tam giác nội tiếp . Các phân giác trong góc cắt nhau tại và cắt đường tròn tại . Trên tia đối các tia lấy điểm sao cho . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác có tâm là . Chứng minh các tia cắt nhau tại một điểm thuộc đường […]
Bài toán (Bosnia Herzegovina Team Selection Test 2010) Tam giác vuông tại . Các phân giác trong cắt đường cao tại . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm của song song với . Lời giải : Gọi là tâm nội tiếp tam giác . Gọi lần lượt là trung điểm của . […]
Bài toán (Korea Final Round 2013) Cho tam giác có , là điểm trên thỏa mãn . Gọi là tâm nội tiếp tam giác và là giao điểm khác của đường tròn ngoại tiếp tam giác và . Đường thẳng qua song song gặp tại . Gỉa sử là tâm nội tiếp tam giác và là […]
Bài toán (Korean Final Round 2012) Cho tam giác nhọn , là chân vuông góc hạ từ xuống . là các điểm trên và là các hình chiếu vuông góc của xuống . Gỉa sử giao điểm của và nằm trên . Gọi là chân vuông góc từ xuống . Chứng minh . Lời giải : […]
Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2013) Trung điểm của cung nhỏ của đường tròn ngoại tiếp tam giác là . Gỉa sử đường cao từ cắt tại . Qua lần lượt kẻ song song với lần lượt thuộc . Chứng minh . Lời giải : Ta có : Vậy ta được tứ giác […]
Bài toán : Cho dãy thỏa mãn : Tìm số nguyên dương sao cho các số và đều là tích của hai số nguyên tố phân biệt và hiệu của hai số nguyên tố trong mỗi tích đó là bằng nhau. Lời giải : Tuyến tính hóa dãy , ta được : Phương trình sai […]
Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2013) Từ điểm nằm ngoài đường tròn , ta kẻ hai tiếp tuyến với là các tiếp điểm. là một điểm trên đoạn . Gỉa sử đường tròn ngoại tiếp tam giác cắt tại . Gọi là điểm đối xứng với qua . Chứng minh rằng . Lời giải […]
Bài toán : Cho tam giác và một điểm thay đổi trên đoạn . Đường tròn tâm bán kính cắt theo thứ tự tại . Chứng minh trực tâm tam giác luôn thuộc một đường cố định. Lời giải : Kẻ đường cao của tam giác . lần lượt đối xứng với qua . Dễ […]
Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2010) Hai đường tròn gặp nhau tại . tương ứng thuộc sao cho là tiếp tuyến chung của hai đường tròn và gần hơn . lần nữa gặp tại . Gọi là trung điểm của . Chứng minh rằng Lời giải : Gọi là giao của và . […]
Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2008) Cho là một số tự nhiên. Biết rằng với mọi số tự nhiên thì là một lập phương đúng. Chứng minh . Lời giải : Ta có đều là lập phương đúng. Chú ý vì : Suy ra là một lập phương đúng. Đặt : Chú ý […]
Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2007) là trung điểm của cạnh trong tam giác vuông tại . là điểm trên thỏa mãn . Đường tròn ngoại tiếp các tam giác giao nhau lần nữa tại . Chứng minh là phân giác trong góc . Lời giải : Ta có : (tứ giác nội […]
Bài toán (Iran National Olympiad 3rd Round 2013) Cho ngũ giác nội tiếp và gọi là giao của . Đường thẳng qua song song cắt tại . Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với . Lời giải : Chú ý song song nên : Vậy ta được tứ giác nội tiếp. […]