Geometry

Bài toán (Iran National Olympiad Second Round 2013)

Trung điểm của cung nhỏ $BC$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $P$. Gỉa sử đường cao từ $A$ cắt $(ABC)$ tại $N$. Qua $O$ lần lượt kẻ $OK,OL$ song song $MB,MC$ với $K,L$ lần lượt thuộc $AB,AC$. Chứng minh $NK=NL$.

Lời giải :

Ta có :

$$\angle OLA+\angle OKA=\angle MCA+\angle MBA=180^0$$

Vậy ta được tứ giác $AKOL$ nội tiếp. Gọi $S$ là giao của $AN$ và $(AKOL)$.

Ta có $\angle ANM=180^0-\angle ACM=180^0-\angle ALO=\angle ASO$, suy ra $SO\parallel MN$. Cũng có $SN\parallel OM$ do cùng vuông góc $BC$. Ta được tứ giác $SONM$ là hình bình hành. Kéo theo $SN=OM=NO$. Tam giác $NSO$ cân tại $N$.

Ta cũng có :

$$\angle KOS=KAS=\angle LAO=\angle LOK$$

(Chú ý $AS,AO$ đẳng giác trong góc $BAC$)

Suy ra $KL$ song song $SO$. Dẫn đến $OSKL$ là hình thang cân.

Từ đó có ngay :

$$\angle KSN=360^0-\angle KSO-\angle NSO=360^0-\angle SOL-\angle NOS=\angle LON$$

Không khó để thấy được $\Delta KSN=\Delta LON$. Ta được điều cần chứng minh :

$$NK=NL$$.