Geometry

Bài toán (AoPS)

Cho tam giác $ABC$ có phân giác $BE,CF$ và $EF$ cắt đường tròn ngoại tiếp $(O)$ tại hai điểm $M,N$. Gọi $I_a$ là tâm bàng tiếp góc $A$ của tam giác. Chứng minh tam giác $I_{a}MN$ cân.

Lời giải :

Theo bài toán này thì ta có $O{I}_a$ vuông góc $EF$ hay $O{I}_a$ vuông góc $MN$. Như vậy $O{I}_a$ cũng sẽ đi qua trung điểm của $MN$ theo tính chất đường kính và dây trong đường tròn.

Tam giác $I_{a}MN$ có $I_{a}O$ là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân.