Arithmetic Sequence

Bài toán : Cho dãy số $(a_{n})$ xác định bởi :

${a_{1} = 1964, a_{2} = 96 a_{n + 2} = 30 a_{n + 1}^{2} - 75 a_{n + 1} a_{n} - 1944 a_{n} (n \geq 1)$

Chứng minh rằng không có một số hạng nào của dãy biểu diễn được dưới dạng tổng của ba lũy thừa bậc bảy của ba số nguyên.

Lời giải :

Từ đề bài :

$a_{n + 2} \equiv a_{n + 1}^{2} - 17 a_{n} a_{n + 1} - a_{n} (m o d 29)$

Ta thấy :

$a_{1} = 1964 \equiv - 8 (m o d 29)$

$a_{2} = 96 \equiv 9 (m o d 29)$

$a_{3} \equiv 9^{2} - 17.9. (- 8) + 8 \equiv 8 (m o d 29)$

$a_{4} \equiv 8^{2} - 17.8.9 - 9 \equiv - 9 (m o d 29)$

$a_{5} \equiv (- 9)^{2} - 17. (- 9) .8 - 8 \equiv - 8 (m o d 29)$

$a_{6} \equiv (- 8)^{2} - 17. (- 8) . (- 9) + 9 \equiv 9 (m o d 29)$

$...$

Bằng quy nạp ta được $a_{n} \equiv \pm 8, \pm 9 (m o d 29)$ .

Với số nguyên $a$ bất kì, cho $a$ chạy trên hệ thặng dư đầy đủ modulo $29$ , ta được

$a^{7} \equiv 0, \pm 1, \pm 12 (m o d 29)$

Do đó với các số nguyên $A, B, C$ thì :

$A^{7} + B^{7} + C^{7} \equiv 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 11, \pm 12, \pm 13, \pm 14 (m o d 29)$

Từ hai kết quả trên ta có điều phải chứng minh.

Đề bài