Geometry

Bài toán : Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ và ngoại tiếp $(I)$. $AI,BI,CI$ theo thứ tự cắt $BC,CA,AB$ tại $A_1,B_1,C_1$ và cắt $(O)$ tại $A_2,B_2,C_2$ khác $A,B,C$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A_2,B_2,C_2$ lần lượt vuông góc với $B_1{C}_1,C_1{A}_1,A_1{B}_1$ đồng quy tại trung điểm của $OI$.

Lời giải :

Gọi $X$ là trung điểm của $OI$. Kí hiệu $d_A,d_B,d_C$ lần lượt là đường thẳng qua $A_2,B_2,C_2$ lần lượt vuông góc với $B_1{C}_1,C_1{A}_1,A_1{B}_1$.

Gọi $I_a,I_b,I_c$ theo thứ tự là tâm bàng tiếp góc $A,B,C$ của tam giác $ABC$.

Khi đó $(O)$ chính là đường tròn Euler của tam giác $I_a{I}_b{I}_c$.

Từ đó thấy rằng $A_2,B_2,C_2$ chính là trung điểm của $I{I}_a,I{I}_b,I{I}_c$.

Khi đó trong tam giác $IO{I}_a$ thì $X{A}_2$ là đường trung bình nên $X{A}_2\parallel O{I}_a$. Hơn nữa theo bài toán này, ta có $O{I}_a\perp B_1{C}_1$. Như vậy ta có $X{A}_2\equiv d_A$. Tương tự $X{B}_2\equiv d_B,X{C}_2\equiv d_C$.

Dễ thấy có điều phải chứng minh.

 

Ta phát biểu tổng quát hơn cho bài toán này :

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, phân giác $AD,BE,CF$ đồng quy tại $I$. $AI,BI,CI$ theo thứ tự cắt $(O)$ tại $X,Y,Z$ khác $A,B,C$. Gọi $K,L,N$ là các điểm lần lượt chia $IX,IY,IZ$ theo cùng một tỉ số. Chứng minh các đường thẳng qua $K,L,N$ theo thứ tự vuông góc với $EF,FD,DE$ đồng quy.

Chứng minh hoàn toàn tương tự bài trên.

 

Ta đổi cách phát biểu bài toán :

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên cung lớn. Phân giác $BE,CF$ cắt nhau tại $I$. Điểm $J$ trên $OI$ chia $OI$ theo tỉ số $k$ cố định. Chứng minh rằng đường thẳng qua $J$ vuông góc với $EF$ luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Đường thẳng qua $J$ vuông góc $EF$ cắt $I{I}_a$ và trung trực $BC$ tại $M,K$. Trung trực $BC$ cắt cung $BC$ không chứa $A$ tại $L$. Dễ thấy $L$ là trung điểm của $I{I}_a$.

Theo cách giải các bài toán trên ta sẽ có $JM$ song song $OI_a$ và từ đó :

$\frac{IM}{M{I}_a}$$=k$$\Rightarrow \frac{ML}{M{I}_a}$$=\frac{M{I}_a-L{I}_a}{M{I}_a}$$=k$$\Rightarrow \frac{KL}{KO}$$=\frac{L{I}_a}{M{I}_a}$$=1-k$

Dễ dàng thấy $L$ cố định và $O$ cố định. Do vậy $K$ chính là điểm cố định mà đường thẳng qua $J$ vuông góc $EF$ luôn đi qua.

 

Một cách nhìn khác nữa cho bài toán trên :

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ cố định với $B,C$ cố định và $A$ di chuyển trên cung lớn. Phân giác $BE,CF$ cắt nhau tại $I$ và $J$ là điểm trên đường thẳng $IA$ sao cho $IJ=k$ không đổi.  Chứng minh đường thẳng qua $J$ vuông góc $EF$ luôn đi qua điểm cố định

Lời giải :

Ta có $I{I}_a=\frac{BI}{sin\angle I{I}_{a}B}=\frac{BI}{sin\angle ICB}=\frac{BC}{sin\angle BIC}=const$.

Ta lại có :

$$\frac{LK}{LO}=\frac{JL}{K{L}_a}=\frac{IL-IJ}{K{L}_a}=1-\frac{2k}{I{I}_a}=const$$

Như vậy điểm $K$ là điểm cố định.