Geometry

Bài toán (Korean Final Round 2012)

Cho tam giác nhọn $ABC$, $H$ là chân vuông góc hạ từ $A$ xuống $BC$. $D,E$ là các điểm trên $AB,AC$ và $F,G$ là các hình chiếu vuông góc của $D,E$ xuống $BC$. Gỉa sử giao điểm của $DG$ và $EF$ nằm trên $AH$. Gọi $P$ là chân vuông góc từ $E$ xuống $DH$. Chứng minh $\angle APE=\angle CPE$.

Lời giải :

Trước tiên ta sẽ chứng minh $AH,BE,CD$ đồng quy.

Gọi $L,M$ theo thứ tự là giao của $(DG,AF),(AG,EF)$ và $N$ là điểm đồng quy của $DG,EF,AH$.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác $AFG$ và sự đồng quy của $FM,GL,AH$ :

$$\frac{LA}{LF}.\frac{HF}{HG}.\frac{MG}{MA}=1$$

Theo định lí Thales :

$$\frac{LA}{LF}=\frac{AN}{DF},\frac{MG}{MA}=\frac{EG}{AN}$$

Từ đó ta thu được :

$$\frac{HF}{HG}=\frac{DF}{EG}(\ast )$$

Theo định lí Thales, ta có :

$\frac{BF}{HB}$$=\frac{DF}{AH},\frac{GC}{HC}$$=\frac{EG}{AH}$$\Rightarrow \frac{BF.HC}{HB.GC}$$=\frac{DF}{EG}(\ast \ast )$

Từ $(\ast )(\ast \ast )$ ta được :

$\frac{BF.HC}{HB.GC}$$=\frac{HF}{HG}$$\Rightarrow \frac{HF}{FB}.\frac{HB}{HC}.\frac{GC}{HG}$$=1$$\Rightarrow \frac{DA}{DB}.\frac{HB}{HC}.\frac{EC}{EA}$$=1$

Từ đó theo định lí Ceva đảo ta được $AH,BE,CD$ đồng quy.

Khi ấy dễ thấy $P(DEAC)=-1$ mà $PE\perp DH$ nên theo định lí về chùm điều hòa ta có $PE$ là phân giác góc $APC$. Điều phải chứng minh