Arithmetic Sequence

Bài toán : (Vietnam Mathematical Olympiad 1999)

Cho hai dãy $(x_n),(y_n)$ xác định bởi :

$$\{\begin{array}{c}{x}_0=1,x_1=4,x_{n+2}=3x_{n+1}-x_n\\ y_0=1,y_1=2,y_{n+2}=3y_{n+1}-y_n\end{array}$$

a) Chứng minh rằng : $x_n^2-5y_n^2+4=0,\forall n\in \mathbb{N}$

b) Gỉa sử $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^2-5b^2+4=0$. Chứng minh rằng tồn tại số $k$ sao cho $x_k=a,y_k=b$.

Lời giải :

a) Ta sẽ xây dựng mối quan hệ giữa hai dãy $(x_n),(y_n)$ như sau :

Gỉa sử có :

$$\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=a{x}_n+b{y}_n\\ y_{n+1}=c{x}_n+d{y}_n\end{array}$$

Với những giá trị $x_0,x_1,x_2,y_0,y_1,y_2$ ta tìm được $a=\frac{3}{2},b=\frac{5}{2},c=\frac{1}{2},d=\frac{3}{2}$. Vậy ta dự đoán là dãy $(x_n)(y_n)$ đã cho sẽ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_{n+1}=\frac{3x_n+5y_n}{2}\\ y_{n+1}=\frac{x_n+3y_n}{2}\end{array}$$

Và dễ dàng kiểm tra được dự đoán này là đúng.

Tiếp theo ta chứng minh yêu cầu bài toán bằng quy nạp. Gỉa sử $x_n^2-5y_n^2+4=0$. Khi ấy :

$x_{n+1}^2-5y_{n+1}^2$$={\left(\frac{3x_n+5y_n}{2}\right)}^2-5{\left(\frac{x_n+3y_n}{2}\right)}^2$$=x_n^2-5y_n^2$$=-4$

Câu a của bài toán được giải quyết.

b) Gỉa sử $(a_0,b_0)$ là một cặp số nguyên dương thỏa mãn $a_0^2-5b_0^2+4=0$ trong đó $b_0>1$ vì nếu $b_0=1$ thì $a_0=1$. Khi đó tồn tại $k=0$ để $x_0=y_0=1$ thỏa mãn hệ thức đề bài.

Ta chọn cặp $(a_1,b_1)=\left(\frac{3a_0-5b_0}{2},\frac{3b_0-a_0}{2}\right)$. Dễ dàng chứng minh được $a_1,b_1$ nguyên dương.

Khi đó cũng có :

$a_1^2-5b_1^2+4$$={\left(\frac{3a_0-5b_0}{2}\right)}^2-5{\left(\frac{3b_0-a_0}{2}\right)}^2+4$$=a_0^2-5b_0^2+4$$=0$

Như vậy cặp $(a_1,b_1)$ cũng là một cặp thỏa đề. Cũng có :

$$a_1+b_1=a_0-b_0<a_0+b_0$$

Tương tự ta chọn được cặp $(a_i,b_i)$ thỏa mãn :

$$...<a_i+b_i<...<a_2+b_2<a_1+b_1$$

Dãy số $(a_n+b_n)$ giảm mà bị chặn dưới bởi $2$ nên tồn tại số $k$ sao cho :

$$a_k+b_k=2\Rightarrow a_k=b_k=1$$

Như vậy ta có $a_k=x_0,b_k=y_0$.

Chú ý vì $a_k=\frac{3a_{k-1}-5b_{k-1}}{2},b_k=\frac{3b_{k-1}-a_{k-1}}{2}$ nên :

$a_{k-1}$$=\frac{5b_k+3a_k}{2}$$=\frac{5y_0+3x_0}{2}$$=x_1,b_{k-1}$$=\frac{3b_k+a_k}{2}$$=\frac{3y_0+x_0}{2}$$=y_1$

$$...$$

$a_0$$=\frac{5b_1+3a_1}{2}$$=\frac{5y_{k-1}+3x_{k-1}}{2}$$=x_k,b_0$$=\frac{3b_1+a_1}{2}$$=\frac{3y_{k-1}+x_{k-1}}{2}$$=y_k$

Vậy luôn tồn tại số $k$ sao cho $(x_k,y_k)=(a_0,b_0)$ là một cặp số thỏa mãn phương trình đề bài.